題目列表(包括答案和解析)
6.求分別滿足下列條件的直線l的方程:
(1)直線l過點A(1,-2),且點B(2,1)到l的距離等于1;
(2)過點M(-1,2)作直線l,使點A(-3,4)和B(1,-2)到l的距離相等;
(3)直線l過點P(-3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等.
5.已知直線ax+3y+1=0與直線x+(a-2)y+a=0,當(dāng)a=_________時,兩直線平行;當(dāng)a=_________時,兩直線重合;當(dāng)a∈_________時,兩直線相交.
4.已知兩點A(cos70°,cos20°)、B(sin80°,sin10°),則直線AB的傾斜角是_________.
3.點M(1,3),N(5,-2),點P在x軸上,使|PM|-|PN|取最大值的點P的坐標(biāo)為
A.(4,0) B.(13,0)
C.(5,0) D.(1,0)
2.如果AC<0,且BC<0,那么直線Ax+By+C=0不通過
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
1.下列命題中是真命題的是
A.經(jīng)過定點P0(x0,y0)的直線都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
B.經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示
C.不經(jīng)過原點的直線都可以用方程=1表示
D.經(jīng)過定點A(0,b)的直線都可以用方程y=kx+b表示
(三)解答題
20.正方形中心為G(-1,0),一邊所在直線的斜率為3,且此正方形的面積為14.4,求這正方 形各邊所在直線的方程.
21.已知在△ABC的邊上運動的點D、E、F在t=0時分別從A、B、C出發(fā),各以一定的速度向B、 C、A前進,在t=1時分別達到B、C、A,試證明在運動過程中,△DEF的重心是一個定點.
22.一條光線從點M(5,3)射出,被直線l∶x+y=1反射,入射光線到直線l的角為β,已知tgβ=2,求入射光線與反射光線所在直線的方程.
23.用解析法證明三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理.
24.已知點P(6,8),過P點作直線PA⊥PB分別交x軸正半軸、y軸正半軸于A、B兩點。
①求線段AB的中點的軌跡。
②若△AOB面積等于△APB面積,求此時直線PA與直線PB的方程。
25.已知動點P(x,y)在以A(π,0)、B(-,-)為兩端點的線段上移動,且sinx+sin2y=0。求點P的坐標(biāo)。
(二)填空題
16.兩條平行直線2x-7y+8=0和2x-7y-8=0間的距離是 .
17.如果直線l1、l2的斜率分別是二次方程x2-4x+1=0的兩根,那么l1與l2所成 角的大小是 .
18.直線y=-x+b和5x+3y-31=0的交點在第一象限,那么b的范圍是 .
19.已知點P是直線l上一點,將直線l繞點P沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<90°,所得直 線的方程是x-y-2=0,若將它繼續(xù)為轉(zhuǎn)90°-α,所得直線的方程2x+y-1=0,則直線l的方程為 .
(一)選擇題
1.直線Ax+By+C=0通過第一、二、三象限,當(dāng)且僅當(dāng)( )
A.A·B>0,A·C>0 B.A·B>0,A·C<0
C.A·B<0,A·C>0 D.A·B<0,A·C<0
2.已知點M(3,4),N(12,7),P在直線MN上,且,則點P的坐標(biāo)是( )
A.(6,5) B.(9,6)
C.(0,3) D.(0,3)或(6,5)
3.已知點A(3,3),B(-1,5),直線y=ax+1與線段AB有公共點,則實數(shù)a應(yīng)滿足的條件是( )
A.a∈[-4,] B.a≠-
C.a∈[-4,]∪(-,) D.a∈(-∞,-4)∪(,+∞]
4.方程│x-1│+y=1確定的曲線與x軸圍成的圖形的面積是( )
A. B.1 C.2 D.4
5.過點(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是( )
A.x+y=5 B.3x-2y=0
C.x+y=5或3x-2y=0 D.4x-y=5
6.直線l過點P(3,2),與x軸、y軸的正半軸交于A、B兩點,O是坐標(biāo)原點,當(dāng)△AOB面積為最 小值時,直線l的方程是( )
A.x-y-1=0 B.x+y-5=0
C.2x+3y-12=0 D.3x+2y-13=0
7.如果直線Ax+By+C=0的傾斜角是一銳角,且在y軸上的截距大于零,則( )
A.AB>0,AC>0 B.AB>0,AC<0
C.AB<0,AC>0 D.AB<0,AC<0
8.下列各點中,不與P(4,3)、Q(-1,6)兩點共線的點是( )
A.(5,6) B.(2,-3)
C.(3t,t+3)(這里t∈Z) D.(t+3,3t)(這里t∈Z)
9.兩條不重合的直線mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的充要條件是( )
A.m=1,n=1 B.m=-1,n=-1
C.m=1,n≠-1,或m=-1,n≠1 D.m≠±1,n≠±1
10.與直線2x+3y-6=0關(guān)于點(1,-1)對稱的直線是( )
A.3x-2y+2=0 B.2x+3y+1=0
C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0
11.已知0≤θ≤,且點(1,cosθ) 到直線xsinθ+ycosθ=1的距離等于 ,則θ等于( )
A. B. C. D.
12.已知直線l1∶x-2y-6=0,l2∶3x-y+4=0下列說法中錯誤的是( )
A.l1與l2的夾角是45° B.l1到l2的角是45°
C.l2到l1的夾角是45° D.l2到l1的角是135 °
13.若a2+b2=c2,則直線ax+by+c=0被圓x2+y2=2所截的弦長等于( )
A.1 B.2 C. D.2
14.△ABC中,B(-a,0)、C(a,0),且兩底角的正切的乘積為定值k(k>0),則頂點A的軌跡方 程是( )
A.kx2+y2=ka2(y≠0) B.kx2-y2=ka2(y≠0)
C.x2+ky2=ka2(y≠0) D.x2-ky2=ka2(y≠0)
15.設(shè)點A(-1,2),B(2,-2),C(0,3),且M(a,b)是線段AB上的一點(a≠0),則直線MC的 斜率的取值范圍是( )
A.[-,1] B.[-1, ]
C.[-,0]∪(0,1) D.(-∞ ,-)∪(1,+∞)
(四)綜合例題賞析
例4設(shè)點P在有向線段AB的延長線上,P分AB所在的比為λ,則 ( )
A.λ<-1 B.-1<λ<0
C.0<λ<1 D.λ>1
解 由已知有λ=因為與的方向相反,且||>||,
所以λ=?||<-1,
應(yīng)選A。
例5 和直線3x-4y+5=0關(guān)于x軸對稱的直線方程是( )
A.3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0
C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0
解: 若曲線c的方程f(x,y)=0,曲線c和c′關(guān)于x軸對稱,則曲線c′的方程是f(x,-y)=0.
∴3x-4(-y)+5=0即3x+4y+5=0為所求.
應(yīng)選B.
例6 如圖,設(shè)圖中直線l1,l2,l3的斜率分 別為k1,k2,k3,則( )
A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2
C.k3<k2<k1 D.k1<k1<k2
解 顯然k1<0,0<k3<k2
于是應(yīng)選D.
例7 如果直線y=ax+2與直線y=3x-b關(guān)于直線y=x對稱,那么( )
A.a=,b=6 B.a=,b=-6 C.a=3,b=-2 D.a=3,b=6
解 C1的方程是f(x,y)=0,C2和C1關(guān)于直線y=x對稱,則C2的方程是f(y,x)=0.
于是直線y=ax+2關(guān)于直線y=x對稱的直線的方程是x=ay+2,即y=.
由題設(shè)y=和y=3x-b是同一條直線,
所以,解得
從而應(yīng)選A.
例8 通過點(0,2)且傾斜角為15°的直線方程是( )
A.y=(-2)x+2 B.y=(-1)x+2
C.y=(2-)x+2 D.y=(-1) x+2
解: ∵直線通過點(0,2).
∴直線在y軸上的截距b=2.
∵直線的傾角為15°,
∴直線的斜率k=tg15°=.
把k=2-,b=2代入直線的斜截式方程y=kx+b,得y=(2-)x+2 .
應(yīng)選C.
例9 直線3x-2y=6在y軸上的截距是( )
A. B.-2 C. -3 D.3
解: ∵3x-2y=6y=-+=1,
又直線的截距為=1,
∴b=-3,即在y軸上的截距為-3.
應(yīng)選C.
例10 如果直線ax+2y+2=0與直線3x-y-2=0平行,那么 系數(shù)a=( )
A.-3 B.-6 C.- D.
解:l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,且A2≠0,B2≠0,C2≠ 0,則有
l1∥l2
∴由題設(shè)有=a=- 6.
應(yīng)選B.
例11 兩條直線A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件是 ( )
A.A1A2+B1B2=0 B.A1A2-B1B2=0
C.=-1 D.
解 若B1B2=0,不妨設(shè)B1=0,則直線l1∶A1x+C1=0,l1是垂直與x軸的直 線,由于l1⊥l2,所以l2是垂直y軸的直線,從而l2∶B2y+C2=0,即A2=0
故 A1A2+B1B2=0
若B1B2≠0,則l1和l2的方程可化為y=-,y=-,得k1=-,k2=-,
由l1⊥l2k1·k2=-1·=-1A1A2+B1B2=0.
綜上有若l1⊥l2,則A1A2+B1B2=0
反之,若A1A2+B1B2=0
1°A1A2≠0B1B2≠0A1A2=-B1B2=-·
=-1()·()=-1,
即k1·k2=-1
所以l1⊥l2.
2°若A1·A2=0,不妨設(shè)A1=0,且A2≠0,則B1≠0且B1·B2=0B2=0 ,
所以l1∶B1y+C1=0,是垂直y軸的直線;
l2∶A2x+C2=0,是垂直x軸的直線;
于是l1⊥l2
又若A1=0且A2=0則l1∶B1y+C1=0,l2∶B2y+C2=0,則l1∥l2,此與
l1⊥l2矛盾.
綜上有 若A1A2+B1B2=0,則l1⊥l2
綜合(1)、(2)知,l1⊥l2A1A2=B1B2=0
故應(yīng)選A.
例12 如果直線ax+2y+1=0與直線x+y-2=0互相垂直,那么a 的值等于( )
A.1 B.- C. - D.-2
解:兩直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,互相垂直的充要條件是 :
A1A2+B1B2=0
∴由題設(shè)得a·1+2·1=0,從而a=-2.
應(yīng)選D.
例13 點P(2,5)關(guān)于直線x+y=0的對稱點的坐標(biāo)是( )
A.(5,2) B.(2,-5)
C.(-5,-2) D.(-2,-5)
解:設(shè)P(2,5)和Q(m,n)關(guān)于直線y=-x對稱,則PQ中點R(,)在y=-x上,且KPQ·(-1)=-1.
∴,解得
∴對稱點Q的坐標(biāo)是(-5,-2).
應(yīng)選C.
例14 原點關(guān)于直線8x+6y=25的對稱點坐標(biāo)是( )
A.(2,) B.(,)
C.(3,4) D.(4,3)
解:設(shè)(m,n)為所求,則
解得m=4,n=3
∴應(yīng)選D.
例15 在直角坐標(biāo)中,△ABC的三個頂點是:A(0,3),B(3,3),C(2 ,0),若直線x=a,將△ABC分割成面積相等的兩部分,則實數(shù)a的值是( )
A. B.1+ C.1+ D.2-
解 如圖
易知直線AC的方程是y=3,直線AC的方程是=1,即3x+ 2y=6.
設(shè)直線x=a與AB交于D,與AC交于E,則D,E的坐標(biāo)分別為D(a,3),E(a,)
從而|DE|=3-=a
S△ADE=AD·DE=a·a=a2 (1)
又S△ABC=·3·=,
S△ADE=·S△ACB=, (2)
由(1),(2)有a2=,解得a=
應(yīng)選A.
例16 以A(1,3)、B(-5,1)為端點的線段垂直平分線的方程是( )
A.3x-y+8=0 B.3x+y+4=0
C.2x+y+2=0 D.3x+y+8=0
解:設(shè)P(x,y)為線段AB的中垂線上的點,
則│PA│=│PB│
即,化簡得3x+y+4= 0.
應(yīng)選B.
例17 在直角坐標(biāo)系xoy中,過點P(-3,4)的直線1與直線OP的夾角為45°, 求1的方程.
解:設(shè)1的斜率為k,kOP=-,
∴tg45°=││=││=││,
得=±1,解出k=-,7
∴1的方程為y-4=-(x+3)或y-4=7(x+3).
即1的方程為x+7y-25=0或7x-y+25=0.
例18 點(0,1)到直線x+y=2的距離是 .
解:d=
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