(七)轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學問題的求解過程，實際上就是問題的轉(zhuǎn)化過程。它主要體現(xiàn)在條件由“隱”轉(zhuǎn)化為“顯”，結(jié)論由“暗”轉(zhuǎn)化為“明”，即從陌生向熟悉、復(fù)雜向簡單、間接向直接的過程。

[例7] 設(shè)圓滿足：① 截軸所得弦長為2；② 被軸分成兩段圓弧，其弧長的比為，在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線：的距離最小的圓的方程。

解：設(shè)圓的圓心為P()，半徑為，由①知；由②知，圓P截軸所得劣弧對應(yīng)的圓心角為，即圓P截軸所得的弦長為，故有，消去得圓心的軌跡為：

如何求圓心P()到直線：的距離的最小值，這樣轉(zhuǎn)化為從不同角度求條件最值問題。

轉(zhuǎn)化1：變量替換求最值

∵ 　　∴

設(shè)，則有，解得，，所以有

=

當且僅當，即時，達到最小值。此時可求得或

由于，故。于是所求圓的方程是：

或

轉(zhuǎn)化2：三角代換求最值

令，

則，

所以

由，得

當達到最小值時，=1，從而，并由此解得或

即或，以下同解法1

轉(zhuǎn)化3：判別式法求最值

由得，即 ①

將代入①式，整理得　 ②

把它看作的一元二次方程，由于方程有實根，故判別式非負，即

，得，所以

將代入②，得

解得

從而，由，知與同號

于是，所求圓的方程為：或

[模擬試題](答題時間：60分鐘)

1. 已知橢圓，能否在此橢圓位于軸左側(cè)的部分上找到一點M，使它到左準線的距離為它到兩焦點、距離的等比中項？

2. 求證：橢圓的弦中點與橢圓中心連線的斜率(兩斜率均存在時)與此弦的斜率之積為。

3. 一橢圓長短軸平行于坐標軸，與直線相切于點P(4，3)，它還經(jīng)過點Q()，R()，求橢圓方程。

4. 兩個不同的點P、Q在曲線上移動，不管如何選擇其位置，它們總不能關(guān)于直線對稱，求的范圍。

5. 過拋物線的焦點F的直線與該拋物線交于A、B兩點，若AB的中點為M，直線的斜率為。

(1)試用表示點M的坐標；

(2)若直線的斜率，且點M到直線：的距離為，試確定實數(shù)的取值范圍。

6. 已知橢圓()，A、B是橢圓上兩點，線段AB的垂直平分線與軸交于點P()，求證：。

(六)參數(shù)思想

處理圓錐曲線問題，可以通過引入?yún)⒆兞刻鎿Q，使許多相關(guān)或不相關(guān)的量統(tǒng)一在參變量下，其妙處在于減少未知量的個數(shù)或轉(zhuǎn)化原命題的結(jié)構(gòu)，以達到簡化解題過程的目的。

[例6] 當為何實數(shù)時，橢圓與曲線C：有公共點？

解：橢圓方程變形為：　

設(shè)，即代入曲線C得：

，即(1)

橢圓與曲線C有交點，等價于方程(1)有解，即等價于函數(shù)的值域

所以

因為，所以的取值范圍是

(五)函數(shù)思想

對于圓錐曲線問題上一些動點，在變化過程中會引入一些相互聯(lián)系、相互制約的變量，從而使變量與其中的參變量之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，此時，用函數(shù)思想與函數(shù)方法處理起來十分方便。

[例5] 直線：和雙曲線的左支交于A、B兩點，直線過P()和AB線段的中點M，求在軸上的截距的取值范圍。

解：由消去得，由題意，有：

設(shè)M()，則

由P()、M()、Q()三點共線，可求得

設(shè)，則在上為減函數(shù)。

所以，且

所以　　 所以或

(四)方程思想

把圓錐曲線問題中的解析式看作一個方程，通過解方程的手段或?qū)Ψ匠痰难芯浚�使問題得到解決，這種思想方法在解析幾何試題中經(jīng)常使用。

[例4] 已知雙曲線C：，設(shè)該雙曲線上支的頂點為A，且上支與直線相交于P點，一條以A為焦點，M()為頂點，開口向下的拋物線通過點P，設(shè)PM的斜率為，且，求實數(shù)的取值范圍。

解：由雙曲線方程知A(0，1)，則拋物線方程為，由雙曲線與直線相交，解得點P的坐標為，又因為點P在拋物線上，所以

　 ①

而MP的斜率為，所以

將代入①，得，即 ②

根據(jù)題意，方程②在區(qū)間上有實根

令，其對稱軸方程為

所以　 所以實數(shù)的取值范圍為

(三)整體思想

對有些圓錐曲線問題，注意其整體結(jié)構(gòu)特點，設(shè)法將問題整體變形轉(zhuǎn)化，以達到避免一些不必要的運算，降低解題難度。

[例3] 從橢圓外一點P(2，4)作橢圓的切線，求兩切線的夾角。

解：由橢圓的切線方程知兩切線的方程為：

又切線過點P(2，4)，所以，整理得，

所以，

所以

所以兩切線的夾角

(二)補集思想

有些圓錐曲線問題，從正面處理較難，常需分類討論，運算量大，且討論不全又容易出錯，如用補集思想考慮其對立面，可以達到化繁為簡的目的。

[例2] 為何值時，直線：不能垂直平分拋物線的某弦。

解：設(shè)，直線垂直平分拋物線的某弦。若直線垂直平分拋物線的弦AB，且A，B，則，

上述兩式相減得：

即

又設(shè)M是弦AB的中點，且，則

因為點M在直線上，所以

由于M在拋物線的內(nèi)部，所以，即

故原命題中的取值范圍是或

(一)極端思想

通過考察圓錐曲線問題的極端元素，靈活地借助極限狀態(tài)解題，則可以避開抽象及復(fù)雜運算，優(yōu)化解題過程，降低解題難度。這是簡化運算量的一條重要途徑。

[例1] 求已知離心率，過點(1，0)且與直線：相切于點()，長軸平行于軸的橢圓方程。

解：把點()看作離心率的橢圓(“點橢圓”)，則與直線：相切于該點的橢圓系即為過直線與“點橢圓”的公共點的橢圓系方程為：

又由于所求的橢圓過點(1，0)，代入上式得，

因此，所求橢圓方程為：

1. 重點：

圓錐曲線的綜合問題。

　 2. 難點：

靈活運用介紹的幾種數(shù)學思想簡化圓錐曲線的運算。

[典型例題]

　　 專題(一)簡化圓錐曲線運算的幾種數(shù)學思想

22、(本題滿分12分)

已知在的展開式中,第二項的二項式系數(shù)與第三項的二項式系數(shù)之比為2∶9.

(1)　 求n的值.

(2)　 求展開式中所有項的系數(shù)之和.

(3)　 求展開式中的常數(shù)項.

云南省玉溪市華培外語實驗學校高二下學期第二次月考