(七)轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解過(guò)程，實(shí)際上就是問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程。它主要體現(xiàn)在條件由“隱”轉(zhuǎn)化為“顯”，結(jié)論由“暗”轉(zhuǎn)化為“明”，即從陌生向熟悉、復(fù)雜向簡(jiǎn)單、間接向直接的過(guò)程。

[例7] 設(shè)圓滿足：① 截軸所得弦長(zhǎng)為2；② 被軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為，在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線：的距離最小的圓的方程。

解：設(shè)圓的圓心為P()，半徑為，由①知；由②知，圓P截軸所得劣弧對(duì)應(yīng)的圓心角為，即圓P截軸所得的弦長(zhǎng)為，故有，消去得圓心的軌跡為：

如何求圓心P()到直線：的距離的最小值，這樣轉(zhuǎn)化為從不同角度求條件最值問(wèn)題。

轉(zhuǎn)化1：變量替換求最值

∵ 　　∴

設(shè)，則有，解得，，所以有

=

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，達(dá)到最小值。此時(shí)可求得或

由于，故。于是所求圓的方程是：

或

轉(zhuǎn)化2：三角代換求最值

令，

則，

所以

由，得

當(dāng)達(dá)到最小值時(shí)，=1，從而，并由此解得或

即或，以下同解法1

轉(zhuǎn)化3：判別式法求最值

由得，即 ①

將代入①式，整理得　 ②

把它看作的一元二次方程，由于方程有實(shí)根，故判別式非負(fù)，即

，得，所以

將代入②，得

解得

從而，由，知與同號(hào)

于是，所求圓的方程為：或

[模擬試題](答題時(shí)間：60分鐘)

1. 已知橢圓，能否在此橢圓位于軸左側(cè)的部分上找到一點(diǎn)M，使它到左準(zhǔn)線的距離為它到兩焦點(diǎn)、距離的等比中項(xiàng)？

2. 求證：橢圓的弦中點(diǎn)與橢圓中心連線的斜率(兩斜率均存在時(shí))與此弦的斜率之積為。

3. 一橢圓長(zhǎng)短軸平行于坐標(biāo)軸，與直線相切于點(diǎn)P(4，3)，它還經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q()，R()，求橢圓方程。

4. 兩個(gè)不同的點(diǎn)P、Q在曲線上移動(dòng)，不管如何選擇其位置，它們總不能關(guān)于直線對(duì)稱，求的范圍。

5. 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為M，直線的斜率為。

(1)試用表示點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)若直線的斜率，且點(diǎn)M到直線：的距離為，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍。

6. 已知橢圓()，A、B是橢圓上兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)P()，求證：。

(六)參數(shù)思想

處理圓錐曲線問(wèn)題，可以通過(guò)引入?yún)⒆兞刻鎿Q，使許多相關(guān)或不相關(guān)的量統(tǒng)一在參變量下，其妙處在于減少未知量的個(gè)數(shù)或轉(zhuǎn)化原命題的結(jié)構(gòu)，以達(dá)到簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的。

[例6] 當(dāng)為何實(shí)數(shù)時(shí)，橢圓與曲線C：有公共點(diǎn)？

解：橢圓方程變形為：　

設(shè)，即代入曲線C得：

，即(1)

橢圓與曲線C有交點(diǎn)，等價(jià)于方程(1)有解，即等價(jià)于函數(shù)的值域

所以

因?yàn)?sub>，所以的取值范圍是

(五)函數(shù)思想

對(duì)于圓錐曲線問(wèn)題上一些動(dòng)點(diǎn)，在變化過(guò)程中會(huì)引入一些相互聯(lián)系、相互制約的變量，從而使變量與其中的參變量之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，此時(shí)，用函數(shù)思想與函數(shù)方法處理起來(lái)十分方便。

[例5] 直線：和雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，直線過(guò)P()和AB線段的中點(diǎn)M，求在軸上的截距的取值范圍。

解：由消去得，由題意，有：

設(shè)M()，則

由P()、M()、Q()三點(diǎn)共線，可求得

設(shè)，則在上為減函數(shù)。

所以，且

所以　　 所以或

(四)方程思想

把圓錐曲線問(wèn)題中的解析式看作一個(gè)方程，通過(guò)解方程的手段或?qū)Ψ匠痰难芯�，使�?wèn)題得到解決，這種思想方法在解析幾何試題中經(jīng)常使用。

[例4] 已知雙曲線C：，設(shè)該雙曲線上支的頂點(diǎn)為A，且上支與直線相交于P點(diǎn)，一條以A為焦點(diǎn)，M()為頂點(diǎn)，開(kāi)口向下的拋物線通過(guò)點(diǎn)P，設(shè)PM的斜率為，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

解：由雙曲線方程知A(0，1)，則拋物線方程為，由雙曲線與直線相交，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以

　 ①

而MP的斜率為，所以

將代入①，得，即 ②

根據(jù)題意，方程②在區(qū)間上有實(shí)根

令，其對(duì)稱軸方程為

所以　 所以實(shí)數(shù)的取值范圍為

(三)整體思想

對(duì)有些圓錐曲線問(wèn)題，注意其整體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)法將問(wèn)題整體變形轉(zhuǎn)化，以達(dá)到避免一些不必要的運(yùn)算，降低解題難度。

[例3] 從橢圓外一點(diǎn)P(2，4)作橢圓的切線，求兩切線的夾角。

解：由橢圓的切線方程知兩切線的方程為：

又切線過(guò)點(diǎn)P(2，4)，所以，整理得，

所以，

所以

所以兩切線的夾角

(二)補(bǔ)集思想

有些圓錐曲線問(wèn)題，從正面處理較難，常需分類討論，運(yùn)算量大，且討論不全又容易出錯(cuò)，如用補(bǔ)集思想考慮其對(duì)立面，可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。

[例2] 為何值時(shí)，直線：不能垂直平分拋物線的某弦。

解：設(shè)，直線垂直平分拋物線的某弦。若直線垂直平分拋物線的弦AB，且A，B，則，

上述兩式相減得：

即

又設(shè)M是弦AB的中點(diǎn)，且，則

因?yàn)辄c(diǎn)M在直線上，所以

由于M在拋物線的內(nèi)部，所以，即

故原命題中的取值范圍是或

(一)極端思想

通過(guò)考察圓錐曲線問(wèn)題的極端元素，靈活地借助極限狀態(tài)解題，則可以避開(kāi)抽象及復(fù)雜運(yùn)算，優(yōu)化解題過(guò)程，降低解題難度。這是簡(jiǎn)化運(yùn)算量的一條重要途徑。

[例1] 求已知離心率，過(guò)點(diǎn)(1，0)且與直線：相切于點(diǎn)()，長(zhǎng)軸平行于軸的橢圓方程。

解：把點(diǎn)()看作離心率的橢圓(“點(diǎn)橢圓”)，則與直線：相切于該點(diǎn)的橢圓系即為過(guò)直線與“點(diǎn)橢圓”的公共點(diǎn)的橢圓系方程為：

又由于所求的橢圓過(guò)點(diǎn)(1，0)，代入上式得，

因此，所求橢圓方程為：

1. 重點(diǎn)：

圓錐曲線的綜合問(wèn)題。

　 2. 難點(diǎn)：

靈活運(yùn)用介紹的幾種數(shù)學(xué)思想簡(jiǎn)化圓錐曲線的運(yùn)算。

[典型例題]

　　 專題(一)簡(jiǎn)化圓錐曲線運(yùn)算的幾種數(shù)學(xué)思想

22、(本題滿分12分)

已知在的展開(kāi)式中,第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為2∶9.

(1)　 求n的值.

(2)　 求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和.

(3)　 求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

云南省玉溪市華培外語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二下學(xué)期第二次月考