3．對于具有周期性的函數(shù)，應先求出周期，作圖象時只要作出一個周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個函數(shù)的圖象。

2．作函數(shù)的圖象時，首先要確定函數(shù)的定義域.

1．數(shù)形結合是數(shù)學中重要的思想方法，在中學階段，對各類函數(shù)的研究都離不開圖象，很多函數(shù)的性質(zhì)都是通過觀察圖象而得到的.

題型1：三角函數(shù)的圖象

例1．(2009浙江理)已知是實數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是 (　　 )

解析　 對于振幅大于1時，三角函數(shù)的周期為，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．

答案：D

例2．(2009遼寧理，8)已知函數(shù)=Acos()的圖象如圖所示，，則=(　　 )

A.　　　　 B. 　　　　C.- 　　　　D.　　　　

答案　 C

題型2：三角函數(shù)圖象的變換

例3．試述如何由y=sin(2x+)的圖象得到y=sinx的圖象.

解析：y=sin(2x+)

另法答案：

(1)先將y=sin(2x+)的圖象向右平移個單位，得y=sin2x的圖象；

(2)再將y=sin2x上各點的橫坐標擴大為原來的2倍(縱坐標不變)，得y=sinx的圖象；

(3)再將y=sinx圖象上各點的縱坐標擴大為原來的3倍(橫坐標不變)，即可得到y=sinx的圖象。

例4．(2009山東卷理)將函數(shù)的圖象向左平移個單位, 再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式是(　　　　　 ).

A.　 　　B.　　 C.　　 D.

解析 將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)即的圖象,再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式為,故選B.

答案:B

[命題立意]:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導公式及二倍角公式進行化簡解析式的基本知識和基本技能,學會公式的變形.　　　

7.(2009山東卷文)將函數(shù)的圖象向左平移個單位, 再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式是(　　　　　 ).

A. 　　　　B. 　　C.　　 D.

解析 將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)即的圖象,再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式為,故選A.

答案:A

[命題立意]:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導公式及二倍角公式進行化簡解析式的基本知識和基本技能,學會公式的變形.

題型3：三角函數(shù)圖象的應用

例5．已知電流I與時間t的關系式為。

(1)右圖是(ω＞0，)

在一個周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求

的解析式；

(2)如果t在任意一段秒的時間內(nèi)，電流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數(shù)值是多少？

　解析:本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎知識，考查運算能力和邏輯推理能力．

(1)由圖可知 A＝300。

設t₁＝－，t₂＝，

則周期T＝2(t₂－t₁)＝2(+)＝。

∴ ω＝＝150π。

又當t＝時，I＝0，即sin(150π·+)＝0，

而， ∴ ＝。

故所求的解析式為。

(2)依題意，周期T≤，即≤，(ω>0)

∴ ω≥300π＞942，又ω∈N^*，

故最小正整數(shù)ω＝943。

點評:本題解答的開竅點是將圖形語言轉化為符號語言．其中，讀圖、識圖、用圖是形數(shù)結合的有效途徑.

例6．(1)(2009遼寧卷理)已知函數(shù)=Acos()的圖象如圖所示，，則=(　　　 )

A.　　　　　 B. 　　　　　　C.－ 　　　　　　　D. 　　　　　　　

解析　 由圖象可得最小正周期為

　　　 于是f(0)＝f(),注意到與關于對稱

　　　 所以f()＝－f()＝

答案　 B

(2)(2009寧夏海南卷理)已知函數(shù)y=sin(x+)(>0, -<)的圖像如圖所示，則　 =________________　

解析：由圖可知，

答案：

題型4：三角函數(shù)的定義域、值域

例7．(1)已知f(x)的定義域為［0，1］，求f(cosx)的定義域；

(2)求函數(shù)y=lgsin(cosx)的定義域；

分析：求函數(shù)的定義域：(1)要使0≤cosx≤1，(2)要使sin(cosx)＞0，這里的cosx以它的值充當角。

解析：(1)0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ(k∈Z)。

∴所求函數(shù)的定義域為{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。

(2)由sin(cosx)＞02kπ＜cosx＜2kπ+π(k∈Z)。

又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。

故所求定義域為{x｜x∈(2kπ－，2kπ+)，k∈Z}。

點評：求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線.

例8．已知函數(shù)f(x)=，求f(x)的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域.

解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠，k∈Z，所以f(x)的定義域為{x|x∈R且x≠，k∈Z}，

因為f(x)的定義域關于原點對稱，

且f(－x)==f(x)。

所以f(x)是偶函數(shù)。

又當x≠(k∈Z)時，

f(x)=。

所以f(x)的值域為{y|－1≤y<或<y≤2}。

點評：本題主要考查三角函數(shù)的基本知識，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。

題型5：三角函數(shù)的單調(diào)性

例9．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

(1)y=sin(－)；(2)y=－｜sin(x+)｜。

分析：(1)要將原函數(shù)化為y=－sin(x－)再求之。

(2)可畫出y=－|sin(x+)|的圖象.

解：(1)y=sin(－)=－sin(－)。

故由2kπ－≤－≤2kπ+。

3kπ－≤x≤3kπ+(k∈Z)，為單調(diào)減區(qū)間；

由2kπ+≤－≤2kπ+。

3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z)，為單調(diào)增區(qū)間。

∴遞減區(qū)間為［3kπ－，3kπ+］，

遞增區(qū)間為［3kπ+，3kπ+］(k∈Z)。

(2)y=－|sin(x+)|的圖象的增區(qū)間為［kπ+，kπ+］，減區(qū)間為［kπ－，kπ+］。

例10．(2002京皖春文，9)函數(shù)y=2^sinx的單調(diào)增區(qū)間是(　　 )

A．［2kπ－，2kπ+］(k∈Z)

B．［2kπ+，2kπ+］(k∈Z)

C．［2kπ－π，2kπ］(k∈Z)

D．［2kπ，2kπ+π］(k∈Z)

解析：A；函數(shù)y=2^x為增函數(shù)，因此求函數(shù)y=2^sinx的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間.

題型6：三角函數(shù)的奇偶性

例11．判斷下面函數(shù)的奇偶性：f(x)=lg(sinx+)。

分析：判斷奇偶性首先應看定義域是否關于原點對稱，然后再看f(x)與f(－x)的關系。

解析：定義域為R，又f(x)+f(－x)=lg1=0，

即f(－x)=－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)。

點評：定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要(但不充分)條件。

例12．(2001上海春)關于x的函數(shù)f(x)=sin(x+)有以下命題：

①對任意的，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；

②不存在，使f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；

③存在，使f(x)是奇函數(shù)；

④對任意的，f(x)都不是偶函數(shù)。

其中一個假命題的序號是_____.因為當=_____時，該命題的結論不成立.

答案：①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)

解析：當=2kπ，k∈Z時，f(x)=sinx是奇函數(shù)。當=2(k+1)π，k∈Z時f(x)=－sinx仍是奇函數(shù)。當=2kπ+，k∈Z時，f(x)=cosx，或當=2kπ－，k∈Z時，f(x)=－cosx，f(x)都是偶函數(shù).所以②和③都是正確的。無論為何值都不能使f(x)恒等于零。所以f(x)不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。①和④都是假命題。

點評：本題考查三角函數(shù)的奇偶性、誘導公式以及分析問題的能力，注意k∈Z不能不寫，否則不給分，本題的答案不惟一，兩個空全答對才能得分.

題型7：三角函數(shù)的周期性

例13．求函數(shù)y=sin⁶x+cos⁶x的最小正周期，并求x為何值時，y有最大值。

分析：將原函數(shù)化成y=Asin(ωx+)+B的形式，即可求解.

解析：y=sin⁶x+cos⁶x=(sin²x+cos²x)(sin⁴x－sin²xcos²x+cos⁴x)

=1－3sin²xcos²x=1－sin²2x=cos4x+。

∴T=。

當cos4x=1，即x=(k∈Z)時，y_max=1。

例14．設的周期，最大值，

(1)求、、的值；

(2)。

解析：(1) ， ， ，

又 的最大值。

， �、佟� ，且 ②，

由 ①、②解出　 a=2 ,　 b=3.

(2) ， ，

　，　

，　 或　 ，　

即　 　( 共線，故舍去) ，　 或　 ，

　 。

點評：方程組的思想是解題時常用的基本思想方法；在解題時不要忘記三角函數(shù)的周期性。

題型8：三角函數(shù)的最值

例15．(2009安徽卷文)設函數(shù)，其中，則導數(shù)的取值范圍是

A. 　　 　　B. 　　　　　　 C.　　　 　　　　 D.

解析

，選D

例16．(2009江西卷理)若函數(shù)，，則的最大值為

A．1　　　　　 B．　　　 C．　　　 D．

答案：B

解析 因為==

當是，函數(shù)取得最大值為2. 故選B

9．五點法作y=Asin(ωx+)的簡圖：

五點取法是設x=ωx+，由x取0、、π、、2π來求相應的x值及對應的y值，再描點作圖。

8．求三角函數(shù)的周期的常用方法：

經(jīng)過恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法.

7．求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標準式，要特別注意A、的正負.利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間；

6．對稱軸與對稱中心：

的對稱軸為，對稱中心為；

的對稱軸為，對稱中心為；

對于和來說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系。

5．由y＝Asin(ωx+)的圖象求其函數(shù)式：

給出圖象確定解析式y=Asin(ωx+)的題型，有時從尋找“五點”中的第一零點(－，0)作為突破口，要從圖象的升降情況找準第一個零點的位置。

4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx+)的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換。

利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn).無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。

途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)

先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個單位，再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?sub>倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx+)的圖象.

途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。

先將y＝sinx的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?sub>倍(ω＞0)，再沿x軸向左(＞0)或向右(＜0＝平移個單位，便得y＝sin(ωx+)的圖象。