1． 設集合，，則   ▲   ．

2． 已知復數(shù)z滿足z²＋1＝0，則（z⁶＋i）（z⁶－i）＝   ▲    ．

3． 在總體中抽取了一個樣本，為了便于統(tǒng)計，將樣本中的每個數(shù)據(jù)乘以100后進行分析，得出新樣本平均數(shù)為3，則估計總體的平均數(shù)為   ▲   ．

說明：本題關(guān)注一下：

4． 冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則滿足＝27的x的值是   ▲   ．

5． 下列四個命題：

①；        ②；

③；④．

其中真命題的序號是   ▲   ．

說明：請注意有關(guān)常用邏輯用語中的一些特殊符號．如果題中的集合R改成Z，真命題的序號是①④，如果R改成復數(shù)集C呢？

6． 如圖甲是第七屆國際數(shù)學教育大會（簡稱ICME－7）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長度構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的通項公式為

＝   ▲  ．

說明：本題是課本中的習題改編，重在建立觀察、歸納意識．

7． 以下偽代碼：

Read  x

If  x≤ 0  Then 

   ← 4x

Else

   ←

End  If

Print 

根據(jù)以上算法，可求得的值為   ▲   ．

8． 在半徑為1的圓周上按順序均勻分布著A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆六個點．則

＝   ▲   ．

說明：此學生容易把兩向量的夾角弄錯．如改成12個點，邊長的求法就不一樣了，難度會加大．

9． 若對任意實數(shù)t，都有．記

，則  ▲  ．

說明：注意對稱性．

10．已知函數(shù)f（x）＝log_a| x |在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，則f（－2）  ▲  f（a＋1）．（填寫“<”，“＝”，“>”之一）

說明：注意函數(shù)y＝f（| x |）是偶函數(shù)．比較f（－2）與f（a＋1）的大小只要比較－2、 a＋1與y軸的距離的大小．

11．過拋物線的焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點，交準線于點C．若，

則直線AB的斜率為   ▲   ．

說明：涉及拋物線的焦點弦的時候，常用應用拋物線的定義．注意本題有兩解．

12．有一根長為6cm，底面半徑為0.5cm的圓柱型鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞4圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的長度最少為   ▲   cm．

說明：本題是由課本例題改編的．關(guān)鍵是要把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．

13．若不等式組 表示的平面區(qū)域是一個三角形及其內(nèi)部，則a的取值范圍是  ▲  ．

說明：線性規(guī)劃要注意數(shù)形結(jié)合，要綜合運用多方面的知識．特別要注意區(qū)域的邊界．

14．已知△ABC三邊a，b，c的長都是整數(shù)，且，如果b＝m（mN*），則這樣的三角形共有   ▲  個（用m表示）．

說明：本題是推理和證明這一章的習題，考查合情推理能力．講評時可改為c＝m再探究．本題也可以用線性規(guī)劃知識求解．

填空題答案：

1．   2．2   3．0.03  4．  5．④   6．   7．－8   8．3   9．－1

10．<    11．    12．     13．    14．

15．（本小題滿分14分）

在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且．

  （Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若m，n，試求|mn|的最小值．

解：（Ⅰ），……………………………………………3分

即，

∴，∴． ………………………………………………5分

∵，∴．………………………………………………………………7分

（Ⅱ）mn ，

|mn|．…………10分

∵，∴，∴．

從而．……………………………………………………………12分

∴當＝1，即時，|mn|取得最小值．……………………13分

所以，|mn|．………………………………………………………………14分

評講建議：

    本題主要考查解三角形和向量的運算等相關(guān)知識，要求學生涉及三角形中三角恒等變換時，要從化角或化邊的角度入手，合理運用正弦定理或余弦定理進行化簡變形；在第二小題中，要強調(diào)多元問題的消元意識，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，注意定義域的確定對結(jié)論的影響，并指明取最值時變量的取值．

16．（本小題滿分14分）

直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，

∠BAD＝∠ADC＝90°，．

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BB₁C₁C；

（Ⅱ）在A₁B₁上是否存一點P，使得DP與平面BCB₁與

平面ACB₁都平行？證明你的結(jié)論．

證明：（Ⅰ） 直棱柱中，BB₁⊥平面ABCD，BB₁⊥AC． ………………2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，，

∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC．………………………………5分

又，平面BB₁C₁C， AC⊥平面BB₁C₁C．  ………………7分

（Ⅱ）存在點P，P為A₁B₁的中點． ……………………………………………………………8分

證明：由P為A₁B₁的中點，有PB₁‖AB，且PB₁＝AB．……………………………………9分

又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB₁，且DC＝ PB₁，

∴DC PB₁為平行四邊形，從而CB₁∥DP．……………………………………………11分

又CB₁面ACB₁，DP 面ACB₁，DP‖面ACB₁．………………………………13分

同理，DP‖面BCB₁．……………………………………………………………………14分

評講建議：

本題主要考查線面平行、垂直的的判定和證明等相關(guān)知識，第一小題要引導學生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC，第二小題，要求學生熟練掌握一個常用結(jié)論：若一直線與兩相交平面相交，則這條直線一定與這兩平面的交線平行；同時注意問題的邏輯要求和答題的規(guī)范性，這里只需要指出結(jié)論并驗證其充分性即可，當然亦可以先探求結(jié)論，再證明之，這事實上證明了結(jié)論是充分且必要的．

變題：

求證：（1）A₁B⊥B₁D；（2）試在棱AB上確定一點E，使A₁E∥平面ACD₁，并說明理由．

17．（本小題滿分15分）

口袋中有質(zhì)地、大小完全相同的5個球，編號分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲：

甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為偶數(shù)算甲贏，

否則算乙贏．

（Ⅰ）求甲贏且編號的和為6的事件發(fā)生的概率；

（Ⅱ）這種游戲規(guī)則公平嗎?試說明理由．

解：（I）設“甲勝且兩數(shù)字之和為6”為事件A，事件A包含的基本事件為

（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5個．……………………2分

又甲、乙二人取出的數(shù)字共有5×5＝25（個）等可能的結(jié)果， ……………………4分

所以． ………………………………………………………………………6分

答：編號的和為6的概率為．…………………………………………………………………7分

     （Ⅱ）這種游戲規(guī)則不公平．……………………………………………………………………9分

設“甲勝”為事件B，“乙勝”為事件C， ……………………………………………10分

則甲勝即兩數(shù)字之和為偶數(shù)所包含的基本事件數(shù)為13個：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），

（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．

所以甲勝的概率P（B）＝，從而乙勝的概率P（C）＝1－＝．…………14分

由于P（B）≠P（C），所以這種游戲規(guī)則不公平． ………………………………15分

評講建議：

    本題主要考查古典概率的計算及其相關(guān)知識，要求學生列舉全面，書寫規(guī)范．尤其注意此類問題的答題格式：設事件、說明概型、計算各基本事件種數(shù)、求值、作答．

引申：連續(xù)玩此游戲三次，若以D表示甲至少贏一次的事件，E表示乙至少贏兩次的事件，試問D與E是否為互斥事件?為什么?（D與E不是互斥事件．因為事件D與E可以同時發(fā)生，如甲贏一次，乙贏兩次的事件即符合題意；亦可分別求P（D）、P（E），由P（D）＋ P（E）>1可得兩者一互斥．）

18．（本小題滿分15分）

已知橢圓的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B．過F、B、

C作⊙P，其中圓心P的坐標為（m，n）．

（Ⅰ）當m＋n>0時，求橢圓離心率的范圍；

（Ⅱ）直線AB與⊙P能否相切？證明你的結(jié)論．

解：（Ⅰ）設F、B、C的坐標分別為（－c，0），（0，b），（1，0），則FC、BC的中垂線分別為

，．………………………………………………………………2分

聯(lián)立方程組，解出……………………………………………………………4分

，即，即（1＋b）（b－c）>0，

∴ b>c． ……………………………………………………………………………………6分

從而即有，∴．……………………………………………………7分

又，∴． …………………………………………………………………8分

（Ⅱ）直線AB與⊙P不能相切．…………………………………………………………………9分

由，＝． ………………………………………………10分

如果直線AB與⊙P相切，則?＝－1． ………………………………………12分

解出c＝0或2，與0＜c＜1矛盾，………………………………………………………14分

所以直線AB與⊙P不能相切． …………………………………………………………15分

評講建議：

此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢圓的相關(guān)知識，要求學生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點，從而大膽求出交點坐標，構(gòu)造關(guān)于橢圓中a，b，c的齊次等式得離心率的范圍．第二小題亦可以用平幾的知識：圓的切割線定理，假設直線AB與⊙P相切，則有AB²＝AF×AC，易由橢圓中a，b，c的關(guān)系推出矛盾．

19．（本小題滿分16分）

已知函數(shù)（a＞0，且a≠1），其中為常數(shù)．如果 是增函數(shù)，且存在零點（為的導函數(shù)）．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁<x₂）是函數(shù)y＝g（x）的圖象上兩點，（ 為的導函數(shù)），證明：．

解：（Ⅰ）因為，

所以． …………………………………………3分

因為h（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，

所以在區(qū)間上恒成立．

若0<a<1，則lna<0，于是恒成立．

又存在正零點，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1與lna<0矛盾．

所以a>1．

由恒成立，又存在正零點，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，

所以lna＝1，即a＝e． ……………………………………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，．…………………………9分

以下證明．      （※）

（※）等價于． ……………………………………………11分

令r（x）＝xlnx₂－xlnx－x₂＋x，…………………………………………………………13分

r ′（x）＝lnx₂－lnx，在（0，x₂］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x₂］上為增函數(shù)．

當x₁<x₂時，r（x₁）< r（x₂）＝0，即，

從而得到證明．……………………………………………………………………15分

對于同理可證……………………………………………………………16分

所以．

評講建議：

此題主要考查函數(shù)、導數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等知識．評講時注意著重導數(shù)在研究函數(shù)中的應用．本題的第一小題是常規(guī)題比較容易，第二小題是以數(shù)學分析中的中值定理為背景，作輔助函數(shù)，利用導數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì)，是近幾年高考的熱點．第二小題還可以這樣證明：

要證明，只要證明>1，令，作函數(shù)h（x）＝t－1－lnt，下略．

20．（本小題滿分16分）

已知數(shù)列中，，且對時，有．

（Ⅰ）設數(shù)列滿足，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）記，求數(shù)列的前n項和S_n．

（Ⅰ） 證明：由條件，得，

則．……………………………………2分

即，所以，．

所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． …………………………………4分

，所以．

兩邊同除以，可得．…………………………………………………6分

于是為以首項，－為公差的等差數(shù)列．

所以．………………………………………………8分

（Ⅱ），令，則．

而．

∴． ……………………………………………………………12分

，

∴．………………14分

令T_n＝，                              ①

則2T_n＝．       ②

①－②，得T_n＝，T_n＝．

∴．……………………………………………………………16分

評講建議：

此題主要考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列的遞推公式、數(shù)列的通項求法、數(shù)列前n項和的求法，作新數(shù)列法，錯項相消法，裂項法等知識與方法，同時考查學生的分析問題與解決問題的能力，邏輯推理能力及運算能力．講評時著重在正確審題，怎樣將復雜的問題化成簡單的問題，本題主要將一個綜合的問題分解成幾個常見的簡單問題．事實上本題包含了好幾個常見的數(shù)列題．本題還有一些另外的解法，如第一問的證明還可以直接代．

B．附加題部分

1． 選修4－1：幾何證明選講

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，，過A點的切線交CB

的延長線于E點．

求證：．

證明：連結(jié)AC．…………………………………………………1分

因為EA切于A， 所以∠EAB＝∠ACB．…………3分

因為，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD．

于是∠EAB＝∠ACD．…………………………………5分

又四邊形ABCD內(nèi)接于，所以∠ABE＝∠D．

所以∽．

于是，即．………………9分

所以．…………………………………10分

2． 選修4－2：矩陣與變換

如圖所示， 四邊形ABCD和四邊形分別是矩形和平行四邊

形，其中點的坐標分別為A（－1，2），B（3，2），C（3，－2），

D（－1，－2），（3，7），（3，3）．求將四邊形ABCD變成

四邊形的變換矩陣M．

解：該變換為切變變換，設矩陣M為，…………………3分

則．………………………………………………6分

∴，解得．…………………………………………………………………9分

所以，M為．………………………………………………………………………10分

說明：掌握幾種常見的平面變換．

3． 選修4－4：坐標系與參數(shù)方程

過點P（－3，0）且傾斜角為30°的直線和曲線相交于A、B兩點．求線段AB的長．

解：直線的參數(shù)方程為，………………………………………………3分

曲線可以化為．……………………………………………5分

將直線的參數(shù)方程代入上式，得．

設A、B對應的參數(shù)分別為，∴．…………………………8分

AB＝．…………………………………………………10分

說明：掌握直線，圓，圓錐曲線的參數(shù)方程及簡單的應用．

4． 選修4－5：不等式選講

已知x，y，z均為正數(shù)．求證：

證明：因為x，y，z無為正數(shù)．所以， ………………………………4分

同理可得，………………………………………………………7分

當且僅當x＝y(tǒng)＝z時，以上三式等號都成立．

將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得．…………10分

5．已知的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列．

   （Ⅰ）求n的值；

   （Ⅱ）求展開式中系數(shù)最大的項．

解：（Ⅰ）由題設，得 ， ………………………………………………3分

即，解得n＝8，n＝1（舍去）．……………………………………………4分

（Ⅱ）設第r＋1的系數(shù)最大，則……………………………………………6分

即 解得r＝2或r＝3． ………………………………………………8分

所以系數(shù)最大的項為，．………………………………………………10分

說明：掌握二項式定理，展開式的通項及其常見的應用．

6． 動點P在x軸與直線l：y＝3之間的區(qū)域（含邊界）上運動，且點P到點F（0，1）和直線l的距離之和為4．

（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；

（Ⅱ）過點Q（0，－1）作曲線C的切線，求所作的切線與曲線C所圍成的區(qū)域的面積．

解：（Ⅰ）設P（x，y），根據(jù)題意，得．……………………………3分

化簡，得．…………………………………………………………………4分

（Ⅱ）設過Q的直線方程為，代入拋物線方程，整理，得．

∴△＝．解得．………………………………………………………6分

所求切線方程為（也可以用導數(shù)求得切線方程），

此時切點的坐標為（2，1），（－2，1），且切點在曲線C上． ………………………8分

由對稱性知所求的區(qū)域的面積為

．…………………………………………10分

說明：拋物線在附加題中的要求提高了，定積分要求不高．

附加題部分說明：

本次附加題考查內(nèi)容盡量回避一模所考內(nèi)容，沒有考查概率分布和空間向量解立體幾何問題．這兩部分內(nèi)容很重要，希望在后期的復習中不可忽視．