0  1149  1157  1163  1167  1173  1175  1179  1185  1187  1193  1199  1203  1205  1209  1215  1217  1223  1227  1229  1233  1235  1239  1241  1243  1244  1245  1247  1248  1249  1251  1253  1257  1259  1263  1265  1269  1275  1277  1283  1287  1289  1293  1299  1305  1307  1313  1317  1319  1325  1329  1335  1343  3002 

 

1.  圓內(nèi)接四邊形ABCD,現(xiàn)有一圓其圓心在邊AB上并于其他三邊相切,求證AD + BC = AB.

2. 設(shè) k<n 時(shí)互素的兩個(gè)正整數(shù)。將集合M = {1, 2, 3, ... , n-1} 中的每個(gè)數(shù)都染成藍(lán)色或白色,保證 i和n-i的顏色相同,對(duì)于不等于k的i其顏色又與|i-k|的顏色相同。求證:M中所有數(shù)的顏色都相同。

3.  P(x) = a0 + a1x + ... + akxk 是整系數(shù)多項(xiàng)式,設(shè)其中系數(shù)為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為o(P)。對(duì)于i = 0, 1, 2, ... ,記 Qi(x) = (1 + x)i。求證如果i1, i2, ... , in都是整數(shù)并滿足0 <= i1 < i2 < ... < in,則有

o(Qi1 + Qi2 + ... + Qin) >= o(Qi1).

4.  集合M由 1985個(gè)不同的正整數(shù)組成,且每個(gè)數(shù)都有一個(gè)大于23的素因子,求證M中存在4個(gè)元素的積是某個(gè)整數(shù)的4次方。

5.  圓心為O的一個(gè)圓經(jīng)過(guò)三角形ABC的頂點(diǎn)A和C,并與AB,BC分別交于不同的兩點(diǎn)K、N,三角形ABC的外接圓和三角形KBN的外接圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)B、M,求證角OMB是直角。

6.  對(duì)于任何一個(gè)實(shí)數(shù) x1,可通過(guò)遞推式

xn+1 = xn(xn + 1/n)

 構(gòu)造序列 x1, x2, ...,求證存在唯一的一個(gè)x1 滿足對(duì)所有的n都有 0 < xn < xn+1 < 1 成立。

 

試題詳情

 

1.  求證 0 <= yz + zx + xy - 2xyz <= 7/27, 其中x, y, z 是非負(fù)實(shí)數(shù)并滿足x + y + z = 1.

2.  試找出所有的正整數(shù)對(duì)(a,b)滿足 ab(a+b)不能被 7 整除, 但 (a+b)7 - a7 - b7 可被77整除。

3.  給定平面上的點(diǎn)O、A。平面上的每個(gè)點(diǎn)都被染色成有限種顏色中的一個(gè)。設(shè)X是平面上一給定點(diǎn),以O(shè)為圓心的圓C(X)的半徑是 OX + (∠ AOX)/OX,其中角∠ AOX是用弧度衡量(即范圍是[0, 2л)),求證能夠找到不在OA上的一點(diǎn)X使得它的顏色出現(xiàn)在圓C(X)的圓周上。

4.  凸四邊形ABCD的邊CD與以AB為直徑的圓相切,求證:AB與以CD為直徑的圓相且當(dāng)且僅當(dāng)BC和AD是平行的。

5.  設(shè) d 是平面上一凸 n 邊形(n>3)的所有對(duì)角線的長(zhǎng)度之和,p 是它的周長(zhǎng)。求證:

 n - 3 < 2d/p < [n/2] [(n+1)/2] - 2,

其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)。

6. 0 < a < b < c < d 是四個(gè)奇數(shù)且 ad = bc. 若a + d = 2k 及 b + c = 2m 對(duì)某k、m成立,則

a = 1.

 

試題詳情

 

1.  試找出所有定義在正實(shí)數(shù)并取值正實(shí)數(shù)的函數(shù) f,使其滿足 f(x(f(y)) = yf(x)對(duì)所有x, y成立,并且當(dāng) x 趨向于無(wú)窮大時(shí) f(x) 趨向于0.

2.  圓C1、C2 的圓心分別是O1 、O2它們相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),設(shè)A是其中一個(gè)交點(diǎn)。這兩個(gè)圓的一條公切線切C1、 C2 分別于點(diǎn) P1P2,另外一條公切線分別切C1、 C2 于點(diǎn) Q1、Q2,再設(shè)M1、M2分別是P1Q1和P2Q2的中點(diǎn),求證:角O1AO2 = 角 M1AM2。

3.  a , b, c是正整數(shù),并且它們中的任何兩個(gè)都沒(méi)有大于1的公約數(shù)。求證 2abc - ab - bc - ca 是不能表示成形式xbc + yca + zab的最大整數(shù),其中x, y, z是非負(fù)整數(shù)。

4.  等邊三角形ABC,設(shè)集合E是該三角形的所有邊界點(diǎn)(即邊AB,BC,CA),任意將E分拆成兩個(gè)不相交的子集合(它們的并集是E),試證明這兩個(gè)集合中的至少一個(gè)包含有三點(diǎn)構(gòu)成一直角三角形。

5.  問(wèn)是否可能存在小于或等于105的1983個(gè)不同的正整數(shù),任何三個(gè)都不構(gòu)成一等茶數(shù)列。

6. 設(shè)a,b,c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),求證

a2b(a - b) + b2c(b - c) + c2a(c - a) >= 0.

并判斷何時(shí)等號(hào)成立。

 

試題詳情

 

1.  f(n)是定義在正整數(shù)上且取值為非負(fù)整數(shù)的函數(shù),f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) = 3333,并對(duì)所有m,n有f(m+n) - f(m) - f(n) = 0 或 1。試求出f(1982)。

2.  A1A2A3是不等腰三角形,其三邊為a1, a2, a3 ,其中ai 是角 Ai的對(duì)邊, 設(shè) Mi 是邊 ai 的中點(diǎn),Ti是三角形的內(nèi)切圓在邊 ai上的切點(diǎn),記Si為點(diǎn) Ti 關(guān)于內(nèi)角Ai的角平分線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),求證線M1S1, M2S2 和M3S3共點(diǎn)。

3.  考慮無(wú)限正實(shí)數(shù)序列 {xn} 滿足x0 = 1 及 x0 >= x1 >= x2 >= ... ,

x02/x1 + x12/x2 + ... + xn-12/xn >= 3.999.

b.    試尋找一個(gè)這樣的序列使其滿足

 x02/x1 + x12/x2 + ... + xn-12/xn < 4   對(duì)所有n成立。

4.  n使正整數(shù),求證如果方程 x3 - 3xy2 + y3 = n有關(guān)于整數(shù)x,y的一個(gè)解,則其至少有三個(gè)解;當(dāng)n=2891時(shí)再證明這個(gè)方程無(wú)整數(shù)解。

5.  正六邊形ABCDEF的對(duì)角線AC、CE上分別有分點(diǎn)M、N并且 AM/AC = CN/CE = r,如果B、M、N共線,試求r的值。

6.  設(shè)S是邊長(zhǎng)為100的正方形,L是在S內(nèi)部不自交的系列線段A0A1, A1A2, A2A3, ... , An-1An 并且A0 與 An不重合。已知對(duì)于每一個(gè)在S邊界上的點(diǎn)P,L中存在一個(gè)點(diǎn)與P之間的距離不大于1/2。求證:L中存在兩點(diǎn)X、Y,X與Y的距離不大于1,并且L上位于X和Y之間的部分不少于198。

 

試題詳情

 

1.  P是三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn),D、E、F分別是從P點(diǎn)向邊BC、CA、AB所引垂線的垂足。試找出 BC/PD + CA/PE + AB/PF 式達(dá)到最小值的所有P點(diǎn)。

2.  取r滿足1 <= r <= n,并考慮集合{1, 2, ... , n}的所有r元子集,每個(gè)子集都有一個(gè)最小元素。設(shè)F(n,r)是所有這些最小元素的算術(shù)平均值。求證:F(n,r) = (n+1)/(r+1)。

3.  設(shè)m、n是屬于{1, 2, ... , 1981}的整數(shù)并且滿足(n2 - mn - m2)2 = 1。試計(jì)算m2 + n2的最大值。

4. 設(shè) n>2,問(wèn)

5. 三個(gè)都通過(guò)點(diǎn)O的等半徑的圓位于一個(gè)給定三角形的內(nèi)部,并且每個(gè)圓都相切于這個(gè)三角形的兩條邊。求證:這個(gè)三角形的內(nèi)心、外心、O點(diǎn)三點(diǎn)共線。

6. 函數(shù)f(x,y),對(duì)于任何非負(fù)整數(shù)x,y都滿足f(0,y) = y + 1, f(x+1,0) = f(x,1), f(x+1,y+1) = f(x,f(x+1,y))。試計(jì)算f(4, 1981)的值。

 

試題詳情

 

1. m,n是滿足下述條件的正整數(shù):

m/n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... - 1/1318 + 1/1319.

求證:m可被1979整除。

2.  一個(gè)棱柱的上底和下底分別是正五邊形A1A2A3A4A5、B1B2B3B4B5 。這兩個(gè)正五邊形的每條邊以及每個(gè) AiBj邊都被染上紅色或藍(lán)色。又已知每個(gè)邊都被著色的三角形(其頂點(diǎn)即這個(gè)棱柱的頂點(diǎn))必有兩邊著不同色,求證:上、下底的十條邊都被染上了同一種顏色。

3.  平面上的兩個(gè)圓相交,A是其中一個(gè)交點(diǎn)。現(xiàn)有兩質(zhì)點(diǎn)同時(shí)從A出發(fā)各自以恒定的速度,同以順時(shí)針?lè)较蚧蛲阅鏁r(shí)針?lè)较蚶@各自的圓移動(dòng),在繞過(guò)一周之后這兩點(diǎn)又同時(shí)回到了A點(diǎn)。求證:在這個(gè)平面上一定存在某個(gè)固定的點(diǎn)P使得在任意時(shí)刻P點(diǎn)都與這兩動(dòng)點(diǎn)的距離相等。

4. 給定一平面k,在這個(gè)平面上有一點(diǎn)P,平面外有一點(diǎn)Q,試找出平面k上的所有的點(diǎn)R使得(QP + PR)/QR 為最大值。

5.  試求出所有的實(shí)數(shù)a,使得存在非負(fù)實(shí)數(shù)x1, x2, x3, x4, x5滿足下列關(guān)系式:

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = a;

x1 + 23x2 + 33x3 + 43x4 + 53x5 = a2;

x1 + 25x2 + 35x3 + 45x4 + 55x5 = a3

6.  令A(yù)、E是一個(gè)正八邊形的兩相對(duì)頂點(diǎn),一只青蛙從A點(diǎn)開(kāi)始跳動(dòng),除了E點(diǎn)外,從八邊形中的其他每一個(gè)頂點(diǎn)都可以跳至與它相鄰兩頂點(diǎn)中的任何一個(gè)。當(dāng)它跳到E點(diǎn)時(shí)就停止運(yùn)動(dòng)。設(shè) an 為恰好經(jīng)過(guò) n步跳動(dòng)以后到達(dá)E點(diǎn)的所有可能線路的個(gè)數(shù),求證:

      a2n-1 = 0
      a2n = (2 + √2)n-1/√2 - (2 - √2)n-1/√2。

 

試題詳情

 

1.  m、n都是正整數(shù)且n>m。如果1978m 和1978n的十進(jìn)制表示法的末三位數(shù)字相同,試求滿足此條件并使m+n達(dá)到最小的m與n。

2.  P是某已知球內(nèi)部一點(diǎn),A、B、C是球面上三點(diǎn),且有PA、PB、PC相互垂直,由PA、PB、PC決定的平行六面體與P點(diǎn)對(duì)角相向的頂點(diǎn)為Q,試求出Q點(diǎn)的軌跡。

3.  兩不交集合{f(1), f(2), f(3), ... }和{g(1), g(2), g(3), ... }的并集是全部的正整數(shù),其中f(1) < f(2) < f(3) < ...,g(1) < g(2) < g(3) < ... ,且有g(shù)(n) = f(f(n)) + 1對(duì)所有n=1,2,3, ...成立。試計(jì)算f(240)。

4.  等腰三角形ABC,AB = AC。在三角形ABC的外接圓的內(nèi)部有一與其相切的一個(gè)小圓,該小圓又分別與AB、AC相切于P、Q兩點(diǎn)。求證:線段PQ的中點(diǎn)恰為三角形ABC內(nèi)切圓的圓心。

5. 令{ak} 為互不相同的正整數(shù)數(shù)列,求證對(duì)于所有的正整數(shù)n,有

∑ak/k2 >= ∑1/k;

上式中兩邊的求和都是k從1到n。

6. 某國(guó)際組織共有來(lái)自六個(gè)國(guó)家的共1978名會(huì)員,會(huì)員編號(hào)分別是1,2,...,1978。求證至少有某一會(huì)員的編號(hào),恰為與他同國(guó)家的另外兩位會(huì)員編號(hào)的和,或者是他同國(guó)家的兩外一名會(huì)員編號(hào)的兩倍。

 

試題詳情

1.  求證(21n+4)/(14n+3) 對(duì)每個(gè)自然數(shù) n都是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

2.  設(shè)√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A,試在以下3種情況下分別求出x的實(shí)數(shù)解: 

(a) A=√2;(b)A=1;(c)A=2。

3. a、b、c都是實(shí)數(shù),已知 cos x的二次方程

a cos2x + b cos x + c = 0,

試用a,b,c作出一個(gè)關(guān)于 cos 2x的二次方程,使它的根與原來(lái)的方程一樣。當(dāng)a=4,b=2,c=-1時(shí)比較 cos x和cos 2x的方程式。

4.  試作一直角三角形使其斜邊為已知的 c,斜邊上的中線是兩直角邊的幾何平均值。

5.  在線段AB上任意選取一點(diǎn)M,在AB的同一側(cè)分別以AM、MB為底作正方形AMCD、MBEF,這兩個(gè)正方形的外接圓的圓心分別是P、Q,設(shè)這兩個(gè)外接圓又交于M、N,

    (a.) 求證 AF、BC相交于N點(diǎn);

   (b.) 求證 不論點(diǎn)M如何選取 直線MN 都通過(guò)一定點(diǎn) S;

    (c.) 當(dāng)M在A與B之間變動(dòng)時(shí),求線斷 PQ的中點(diǎn)的軌跡。

6.  兩個(gè)平面P、Q交于一線p,A為p上給定一點(diǎn),C為Q上給定一點(diǎn),并且這兩點(diǎn)都不在直線p上。試作一等腰梯形ABCD(AB平行于CD),使得它有一個(gè)內(nèi)切圓,并且頂點(diǎn)B、D分別落在平面P和Q上。

 

試題詳情

1.  在正方形ABCD中作等邊三角形ABK、BCL、CDM、DAN,證明線段KL、LM、MN、NK的四個(gè)中點(diǎn)以及線段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的八個(gè)中點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正十二邊形的定點(diǎn)。

2. 在一個(gè)有限項(xiàng)的實(shí)數(shù)序列中,任意的相連七項(xiàng)之和為負(fù),任意的相連十一項(xiàng)之和為正。求出這種序列最多有幾項(xiàng)。

3.  n>2是一給定整數(shù),Vn 是所有1+kn形式的整數(shù)構(gòu)成的集合,其中k是正整數(shù),對(duì)于Vn 中的一個(gè)數(shù)m,如果不存在Vn 中的兩個(gè)數(shù)p、q使得m=pq,則稱(chēng)m是不可分解的。求證:Vn 中存在一數(shù)r,它可有多于一種的方式表示為Vn 中不可分解數(shù)的乘積。(乘積中若僅僅是因數(shù)的順序不同則視為是同一種分解。)

4. 定義f(x) = 1 - a cos x - b sin x - A cos 2x - B sin 2x,其中a,b,A,B都是實(shí)數(shù)常量。如果f(x)>=0對(duì)所有實(shí)數(shù)x都成立,求證

a2 + b2 <= 2 且 A2 + B2 <= 1.

5.  a,b是正整數(shù),設(shè)a2 + b2除以a + b得到商為q,余數(shù)是r。試求出所有的正整數(shù)對(duì)(a,b)使得q2 + r = 1977。

6.  f是定義在所有正整數(shù)上且取值也是正整數(shù)的函數(shù),求證如果f(n+1) > f(f(n))對(duì)所有正整數(shù)n都成立,則f(n) = n對(duì)每個(gè)n都成立。

 

試題詳情

1.  平面上一凸四邊形的面積是32,兩對(duì)邊與一對(duì)角線之和為16,求另外一個(gè)對(duì)角線的所有可能的長(zhǎng)度。

2. 令P1(x) = x2 - 2, Pi+1 = P1(Pi(x)), i = 1, 2, 3, ...,求證對(duì)任何一個(gè)正整數(shù)n,方程式Pn(x) = x 的所有根都是互不相同的實(shí)數(shù)。

3. 一個(gè)長(zhǎng)方形的箱子可以用單位正方體完全裝滿,如果用體積為2的正方體來(lái)盡量裝填,使得每個(gè)邊都與箱子的邊平行,則恰能裝滿箱子的40%,求所有這種箱子的可能尺寸(長(zhǎng)、寬、高)。

4.  試將1976分解成一些正整數(shù)之和,求這些正整數(shù)乘積的最大值,并加以證明。

5.  n是一個(gè)正整數(shù),m = 2n, aij = 0、1或-1 (1 <= i <= n, 1 <= j <= m)。還有m個(gè)未知數(shù)x1, x2, ... , xm滿足下面n個(gè)方程:

ai1x1 + ai2x2 + ... + aimxm = 0,

其中i = 1, 2, ... , n。求證這n個(gè)方程有一組不全為0的整數(shù)解(x1, x2, ... , xm)使得|xi|<= m。

6.  一個(gè)序列u0, u1, u2, ... 定義為:

u0= 2, u1 = 5/2, un+1 = un(un-12 - 2) - u1,n = 1, 2, ...

求證

[un] = 2(2n - (-1)n)/3,

其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)。

 

試題詳情


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