函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時,函數(shù)值隨著增減的情況,所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進行。如:
例4:指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解:先求定義域:
∵ ∴
∴ 函數(shù)定義域為.
令,知在上時,u為減函數(shù),
在上時, u為增函數(shù)。
又∵.
∴函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)。
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,單調(diào)遞減區(qū)間是。
如果在做題時,沒有在定義域的兩個區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性,就說明學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解,沒有理解,在做練習(xí)或作業(yè)時,只是對題型,套公式,而不去領(lǐng)會解題方法的實質(zhì),也說明學(xué)生的思維缺乏深刻性。
函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合,當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定,函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時,應(yīng)注意函數(shù)定義域。如:
例3:求函數(shù)的值域.
錯解:令
∴
故所求的函數(shù)值域是.
剖析:經(jīng)換元后,應(yīng)有,而函數(shù)在[0,+∞)上是增函數(shù),
所以當(dāng)t=0時,ymin=1.
故所求的函數(shù)值域是[1, +∞).
以上例子說明,變量的允許值范圍是何等的重要,若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍,精細(xì)地檢查解題思維的過程,就可以避免以上錯誤結(jié)果的產(chǎn)生。也就是說,學(xué)生若能在解好題目后,檢驗已經(jīng)得到的結(jié)果,善于找出和改正自己的錯誤,善于精細(xì)地檢查思維過程,便體現(xiàn)出良好的思維批判性。
函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大(小)值的問題。如果不注意定義域,將會導(dǎo)致最值的錯誤。如:
例2:求函數(shù)在[-2,5]上的最值.
解:∵
∴ 當(dāng)時,
初看結(jié)論,本題似乎沒有最大值,只有最小值。產(chǎn)生這種錯誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路,而沒有注意到已知條件發(fā)生變化。這是思維呆板性的一種表現(xiàn),也說明學(xué)生思維缺乏靈活性。
其實以上結(jié)論只是對二次函數(shù)在R上適用,而在指定的定義域區(qū)間上,它的最值應(yīng)分如下情況:
、 當(dāng)時,在上單調(diào)遞增函數(shù);
、 當(dāng)時,在上單調(diào)遞減函數(shù);
、 當(dāng)時,在上最值情況是:
,
.即最大值是中最大的一個值。
故本題還要繼續(xù)做下去:
∵
∴
∴
∴ 函數(shù)在[-2,5]上的最小值是- 4,最大值是12.
這個例子說明,在函數(shù)定義域受到限制時,若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響,并在解題過程中加以注意,便體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性。
函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則,所以在求函數(shù)的關(guān)系式時必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域,否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯誤。如:
例1:某單位計劃建筑一矩形圍墻,現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100m,求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關(guān)系式?
解:設(shè)矩形的長為x米,則寬為(50-x)米,由題意得:
故函數(shù)關(guān)系式為:.
如果解題到此為止,則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整,缺少自變量的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因為當(dāng)自變量取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時,S的值是負(fù)數(shù),即矩形的面積為負(fù)數(shù),這與實際問題相矛盾,所以還應(yīng)補上自變量的范圍:
即:函數(shù)關(guān)系式為: ()
這個例子說明,在用函數(shù)方法解決實際問題時,必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點,就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性。若注意到定義域的變化,就說明學(xué)生的解題思維過程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性。
158.保持良好的心態(tài),是正常發(fā)揮、高考取勝的關(guān)鍵!
157.涂答題卡時一定要注意,涂完后別忘了仔細(xì)檢查(如姓名、準(zhǔn)考證號、各題的答案是否對號)
156.上考場前應(yīng)先檢查是否將工具、準(zhǔn)考證全部帶齊。
155.由于高考采取電腦閱卷,所以一定要努力使字跡工整,卷面整潔.并使用0.5mm黑色簽字筆作答.切記在規(guī)定區(qū)域答題。
154.求軌跡方程的常用方法有:直接法、待定系數(shù)法、定義法、轉(zhuǎn)移法(相關(guān)點法)、參數(shù)法等。
153.(理)證明不等式常見的方法有幾種?
分析法,綜合法,反證法,放縮法,數(shù)學(xué)歸納法等.
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