江蘇省蘇中四市二區(qū)2009屆高三聯(lián)考數(shù)學試題
一、填空題(本題共14小題,每小題5分,共70分)
1、若,且為純虛數(shù),則的值為 ;
2、已知集合,若,則實數(shù)的取值范圍為 ;
3、若關于的不等式的解集為,則實數(shù)= ;
4、若向量滿足則向量夾角大小為 ;
5、某次數(shù)學競賽后,指導老師統(tǒng)計了所有參賽學生的成績(成績都為整數(shù),滿分120分)并且繪制了“得分情況分布圖”如圖,如果90分以上(含90分)獲獎,那么該校學生的獲獎率為 ;
6、若時,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為 ;
7、若,則的值為 ;
8、設是定義在R上的函數(shù),且滿足,如果
,則 ;
9、已知正項數(shù)列的首項,前和為,若以為坐標的點在曲線則數(shù)列的通項公式為 ;
10、在下面等號右側兩個分數(shù)的分母括號處,各填上一個自然數(shù),使等式成立且這兩個自然數(shù)的和最。,所填自然數(shù)分別為 ;
11、將下面不完整的命題補充完整,并使之成為一個真命題:若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于 對稱,則函數(shù)的解析式為 (填上你認為可以成為真命題的一種情形,不必考慮所有情形);
12、如果有窮數(shù)列滿足條件:則稱其為“對稱”數(shù)列。例如數(shù)列1,2,5,2,1與數(shù)列8,4,2,4,8都是“對稱”數(shù)列。已知在21項的“對稱”數(shù)列中是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,則數(shù)列的所有項的和為 ;
13、設是空間中不同的直線或不同的平面,且直線不在平面內,則下列結論中能保證“若,且,則”為真命題的是 (把你認為正確的結論的代號都填上);①x為直線,y、z為平面,②x、y、z為平面,③x、y為直線,z為平面,④x、y為平面,z為直線,⑤x、y、z為直線。
14、已知,且是大于0的常數(shù),的最小值為9,則= 。
二、解答題(本題共6小題,滿分90分)
15(本題滿分14分)已知是△ABC的兩個內角,(其中是互相垂直的單位向量),若。
(1)試問是否為定值,若是定值,請求出,否則說明理由;
(2)求的最大值,并判斷此時三角形的形狀。
16(本題滿分14分)
已知:正方體,,E為棱的中點.
⑴求證:;
⑵求證:平面;⑶求三棱錐的體積
17(本題滿分14分)設命題p:函數(shù)的定義域為R;命題q:不等式對一切正實數(shù)均成立
(1)如果p是真命題,求實數(shù)的取值范圍;
(2)如果命題“p或q”為真命題且“p且q”為假命題,求實數(shù)的取值范圍。
18、(本題滿分16分)
已知函數(shù)
(1) 若在上單調遞增,求的取值范圍;
(2) 若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間D上的任意兩個值總有以下不等式成立,則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.
試證當時,為“凹函數(shù)”.
19(本題滿分16分)
已知圓,直線
(1) 求證:對,直線與圓總有兩個不同的交點A、B;
(2) 求弦AB的中點M的軌跡方程,并說明其軌跡是什么曲線;
(3) 若定點P(1,1)滿足,求直線的方程。
20(本題滿分16分)設向量,函數(shù)在上的最小值與最大值的和為,又數(shù)列滿足:
(1)求證:;
(2)求的表達式;
(3),試問數(shù)列中,是否存在正整數(shù),使得對于任意的正整數(shù),都有成立?證明你的結論。
2009屆江蘇省蘇中四市二區(qū)聯(lián)考高三數(shù)學試題
必做題部分答案
一、填空題(每小題5分,共70分)
1、 -2 2、 1 3、 2 4、 1350 5、 43.75% 6、7、8、 1
9、 10、 2,2 11、 y軸, 12、 241 13、①③④ 14、
15(本題滿分14分)
二、解答題(共6小題,滿分90分)
(1),
(定值)
(2)由(1)可知A、B為銳角
所以的最大值為,此時三角形ABC為鈍角三角形。
16⑴證明:連結,則//, ∵是正方形,∴.
∵面,∴.
又,∴面.
∵面,∴,
∴.
⑵證明:作的中點F,連結.
∵是的中點,∴,
∴四邊形是平行四邊形,∴ .
∵是的中點,∴,
又,∴.
∴四邊形是平行四邊形,//,
∵,,
∴平面面.
又平面,∴面.
17(本題滿分14分)
(1)恒成立
(2)
“p或q”為真命題且“p且q”為假命題,即p,q一真一假 故
18(1)由,得
若函數(shù)為上單調增函數(shù),則在上恒成立,
即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立.
令,上述問題等價于,而為在上的減函數(shù),則,于是為所求.
(2)證明:由 得
…
而 ① 又, ∴ ②
∵ ∴,
∵ ∴ ③
由①、②、③得
即,從而由凹函數(shù)的定義可知函數(shù)為凹函數(shù)
19(本題滿分16分)
(1)證明:直線恒過(1,1)又點在園內,所以直線和圓恒有兩個公共點;
(2)設則軌跡是半徑為的圓。
(3)設,由直線與圓方程聯(lián)立得解得,所求直線方程為
20(本題滿分16分)
(1)在[0,1]上為增函數(shù),
(2)
兩式相減得: 遞推一次
所以
(3),且也滿足
存在使得對所有的成立。
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