1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線―共面有反且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線―共面沒有公共點(diǎn)；異面直線―不同在任一平面內(nèi)

[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（×）（可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等）

②直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交

③若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi).

④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn).

⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）

⑥在同一平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等，則斜線長(zhǎng)相等.（×）（并非是從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段）

⑦是夾在兩平行平面間的線段，若，則的位置關(guān)系為相交或平行或異面.

2. 異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）

3. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

4. 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等（如下圖）.

                                                （二面角的取值范圍）

                                                （直線與直線所成角）

                                                （斜線與平面成角）

                                                （直線與平面所成角）

（向量與向量所成角

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.

5. 兩異面直線的距離：公垂線的長(zhǎng)度.

空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.

是異面直線，則過外一點(diǎn)P，過點(diǎn)P且與都平行平面有一個(gè)或沒有，但與距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi). （或在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫與平行的平面）

1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).

2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行，線面平行”）

[注]：①直線與平面內(nèi)一條直線平行，則∥. （×）（平面外一條直線）

②直線與平面內(nèi)一條直線相交，則與平面相交. （×）（平面外一條直線）

③若直線與平面平行，則內(nèi)必存在無(wú)數(shù)條直線與平行. （√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）

④兩條平行線中一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面. （×）（可能在此平面內(nèi)）

⑤平行于同一直線的兩個(gè)平面平行.（×）（兩個(gè)平面可能相交）

⑥平行于同一個(gè)平面的兩直線平行.（×）（兩直線可能相交或者異面）

⑦直線與平面、所成角相等，則∥.（×）（、可能相交）

3. 直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）

4. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直.

l          若⊥，⊥，得⊥（三垂線定理），

得不出⊥. 因?yàn)?sub>⊥，但不垂直OA.

l          三垂線定理的逆定理亦成立.

直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.（“線線垂直，線面垂直”）

直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.

推論：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.

[注]：①垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行）

②垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行.（√）（一條直線垂直于平行的一個(gè)平面，必垂直于另一個(gè)平面）

③垂直于同一平面的兩條直線平行.（√）

5. ⑴垂線段和斜線段長(zhǎng)定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段較長(zhǎng)；②相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段射影較長(zhǎng)；③垂線段比任何一條斜線段短.

[注]：垂線在平面的射影為一個(gè)點(diǎn). [一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（×）]

⑵射影定理推論：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上

1. 空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.

2. 平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)平面平行.（“線面平行，面面平行”）

推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.

[注]：一平面間的任一直線平行于另一平面.

3. 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）

4. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.

兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.（“線面垂直，面面垂直”）

注：如果兩個(gè)二面角的平面對(duì)應(yīng)平面互相垂直，則兩個(gè)二面角沒有什么關(guān)系.

5. 兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.

推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.

證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于，

因?yàn)?sub>則.

6. 兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式：（為銳角取加，為鈍取減，綜上，都取加則必有）

7. ⑴最小角定理：（為最小角，如圖）

⑵最小角定理的應(yīng)用（∠PBN為最小角）

簡(jiǎn)記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長(zhǎng)，一定有4條.

成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有2條.

成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.

成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有.

五、 棱錐、棱柱.

1. 棱柱.

⑴①直棱柱側(cè)面積：（為底面周長(zhǎng)，是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.

②斜棱住側(cè)面積：（是斜棱柱直截面周長(zhǎng)，是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.

⑵{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長(zhǎng)方體}{正四棱柱}{正方體}.

{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.

⑶棱柱具有的性質(zhì)：

①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.

②棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.

③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.

注：①棱柱有一個(gè)側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測(cè)是直棱柱. （×）

（直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖）

②（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.

⑷平行六面體：

定理一：平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.

[注]：四棱柱的對(duì)角線不一定相交于一點(diǎn).

定理二：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和.

推論一：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為，則.

推論二：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為，則.

[注]：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面體的兩個(gè)平行的平面可以為矩形）

②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行）

③對(duì)角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長(zhǎng)方體.（×）（只能推出對(duì)角線相等，推不出底面為矩形）

④棱柱成為直棱柱的一個(gè)必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直. （兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）

2. 棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.

[注]：①一個(gè)棱錐可以四各面都為直角三角形.

②一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐；所以.

⑴①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心.

[注]：i. 正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）

ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱與底棱不一定相等

iii. 正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.

②正棱錐的側(cè)面積：（底面周長(zhǎng)為，斜高為）

③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為）

附：                   以知⊥，，為二面角.

                       則①，②，③ ①②③得.

注：S為任意多邊形的面積（可分別多個(gè)三角形的方法）.

⑵棱錐具有的性質(zhì)：

①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.

②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.

⑶特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置：

①棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.

②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.

③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.

④棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.

⑤三棱錐有兩組對(duì)棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.

⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.

⑦每個(gè)四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑；

⑧每個(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.

[注]：i. 各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（×）（各個(gè)側(cè)面的等腰三角形不知是否全等）

ii. 若一個(gè)三角錐，兩條對(duì)角線互相垂直，則第三對(duì)角線必然垂直.

簡(jiǎn)證：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令

得，已知

則.

iii. 空間四邊形OABC且四邊長(zhǎng)相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.

iv. 若是四邊長(zhǎng)與對(duì)角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.

簡(jiǎn)證：取AC中點(diǎn)，則平面90°易知EFGH為平行四邊形EFGH為長(zhǎng)方形.若對(duì)角線等，則為正方形.

3. 球：⑴球的截面是一個(gè)圓面.

①球的表面積公式：.

②球的體積公式：.

⑵緯度、經(jīng)度：

①緯度：地球上一點(diǎn)的緯度是指經(jīng)過點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).

②經(jīng)度：地球上兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)的經(jīng)線是本初子午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是點(diǎn)的經(jīng)度.

附：①圓柱體積：（為半徑，為高）

②圓錐體積：（為半徑，為高）

③錐形體積：（為底面積，為高）

4. ①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為a，，，

得.

注：球內(nèi)切于四面體：

②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.

六. 空間向量.

1. （1）共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.

注：①若與共線，與共線，則與共線.（×）  [當(dāng)時(shí)，不成立]

②向量共面即它們所在直線共面.（×） [可能異面]

③若∥，則存在小任一實(shí)數(shù)，使.（×）[與不成立]

④若為非零向量，則.（√）[這里用到之積仍為向量]

（2）共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量， ∥的充要條件是存在實(shí)數(shù)（具有唯一性），使.

（3）共面向量：若向量使之平行于平面或在內(nèi)，則與的關(guān)系是平行，記作∥.

（4）①共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y使.

②空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，則是PABC四點(diǎn)共面的充要條件.（簡(jiǎn)證：P、A、B、C四點(diǎn)共面）

注：①②是證明四點(diǎn)共面的常用方法.

2. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.

推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使 (這里隱含x+y+z≠1).

注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，其

中Q是△BCD的重心，則向量用即證.

3. （1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)）.

①令=(a₁,a₂,a₃),，則

    ∥          

(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)

②空間兩點(diǎn)的距離公式：.

（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面的距離為.

②利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大�。�方向相同，則為補(bǔ)角，反方，則為其夾角）.

③證直線和平面平行定理：已知直線平面，，且CDE三點(diǎn)不共線，則a∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)使.（常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.

II. 競(jìng)賽知識(shí)要點(diǎn)

1. 對(duì)照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質(zhì)：

①四面體的六條棱的垂直平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的外接球的球心；

②四面體的四個(gè)面組成六個(gè)二面角的角平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的內(nèi)接球的球心；

③四面體的四個(gè)面的重心與相對(duì)頂點(diǎn)的連接交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為3┱1；

④12個(gè)面角之和為720°，每個(gè)三面角中任兩個(gè)之和大于另一個(gè)面角，且三個(gè)面角之和為180°.

2. 直角四面體：有一個(gè)三面角的三個(gè)面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當(dāng)于平面幾何的直角三角形. （在直角四面體中，記V、l、S、R、r、h分別表示其體積、六條棱長(zhǎng)之和、表面積、外接球半徑、內(nèi)切球半徑及側(cè)面上的高），則有空間勾股定理：S²_△ABC+S²_△BCD+S²_△ABD=S²_△ACD.

3. 等腰四面體：對(duì)棱都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形.根據(jù)定義不難證明以長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)的三條面對(duì)角線的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個(gè)等腰四面體拼補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體.

（在等腰四面體ABCD中，記BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，體積為V，外接球半徑為R，內(nèi)接球半徑為r，高為h），則有

①等腰四面體的體積可表示為；

②等腰四面體的外接球半徑可表示為；

③等腰四面體的四條頂點(diǎn)和對(duì)面重心的連線段的長(zhǎng)相等，且可表示為；

④h = 4r.

二、空間正余弦定理.

空間正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D

空間余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D