例7．（2003年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷文史類19））

   （Ⅰ）若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小，

 點P應位于何處？

   （Ⅱ）若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小，

         點P應位于何處？

分析：本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識，

考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.

    （Ⅰ）解：設P的坐標為（0，），則P至三

鎮(zhèn)距離的平方和為

所以，當時，函數(shù)取得最小值.  答:點P的坐標是

（Ⅱ）解法一：P至三鎮(zhèn)的最遠距離為

    由解得記于是

      因為在[上是增函數(shù)，而上是減函數(shù). 所以時，函數(shù)取得最小值. 答:點P的坐標是

  解法二：P至三鎮(zhèn)的最遠距離為

    函數(shù)的圖象如圖，因此，

當時，函數(shù)取得最小值.答:點P的坐標是

    解法三：因為在△ABC中，AB=AC=13，且，

           且AM=BM=CM. 當P在射線MA上，記P為P₁；當P在射線

MA的反向延長線上，記P為P₂，

這時P到A、B、C三點的最遠距離為

P₁C和P₂A，且P₁C≥MC，P₂A≥MA，所以點P與外心M

重合時，P到三鎮(zhèn)的最遠距離最小.

答:點P的坐標是

例6．已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三種食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物內至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B.

甲

乙

丙

維生素A（單位/千克）

600

700

400

維生素B（單位/千克）

800

400

500

成本（元/千克）

11

9

4

       （1）用x，y表示混合食物成本c元；

       （2）確定x，y，z的值，使成本最低.

   解:（1）依題意得   .

（2）由 ， 得

       ，

當且僅當時等號成立.， 

 ∴當x=50千克，y=20千克，z=30千克時，混合物成本最低為850元.

說明：線性規(guī)劃是高中數(shù)學的新增內容， 涉及此類問題的求解還可利用圖解法.

例5．（2003年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(理工農(nóng)醫(yī)類20)）

    在某海濱城市附近海面有一臺風，據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于城市O（如圖）的東偏南方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動. 臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大. 問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？

解：如圖建立坐標系以O為原點，正東方向為x軸正向.

    在時刻：（1）臺風中心P（）的坐標為

此時臺風侵襲的區(qū)域是

其中若在t時刻城市O受到臺風

的侵襲，則有

即

答：12小時后該城市開始受到臺風的侵襲.

3.要能熟練地處理分段函數(shù)問題.

2.二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及函數(shù)（a＞0，b＞0）的性質要熟練掌握.

說明：1.對于實際應用問題，可以通過建立目標函數(shù)，然后運用解（證）不等式的方法求出函數(shù)的最大值或最小值，其中要特別注意蘊涵的制約關系，如本題中速度v的范圍，一旦忽視，將出現(xiàn)解答不完整.此種應用問題既屬于函數(shù)模型，也可屬于不等式模型.

例4．（1997年全國高考題）甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v（千米／時）的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元.

 ① 把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米／時）的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域；

 ② 為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？    

分析：幾個變量（運輸成本、速度、固定部分）有相互的關聯(lián)，抽象出其中的函數(shù)關系，并求函數(shù)的最小值.

解：（讀題）由主要關系：運輸總成本＝每小時運輸成本×時間，

（建模）有y＝(a＋bv)

（解題）所以全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米／時）的函數(shù)關系式是：

y＝S(＋bv)，其中函數(shù)的定義域是v∈(0，c] .

整理函數(shù)有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，

由函數(shù)y＝x＋ (k>0)的單調性而得：

當<c時，則v＝時，y取最小值；

當≥c時，則v＝c時，y取最小值.

綜上所述，為使全程成本y最小，當<c時，行駛速度應為v＝；當≥c時，行駛速度應為v＝c.

例3．如圖，一載著重危病人的火車從O地出發(fā)，沿射線OA行駛，其中

在距離O地5a（a為正數(shù)）公里北偏東β角的N處住有一位醫(yī)學專家，其中

   （1）求S關于p的函數(shù)關系；

   （2）當p為何值時，搶救最及時.

解：（1）以O為原點，正北方向為y軸建立直角坐標系，

則 

設N（x₀，y₀），

又B（p，0），∴直線BC的方程為：

 由得C的縱坐標

，∴

（2）由（1）得 ∴，∴當且僅當時，上式取等號，∴當公里時，搶救最及時.

4.評價：答案4.92符合城市實際情況，驗算正確，所以到2000年底該市人均住房面積為4.92m.

說明：一般地，涉及到利率、產(chǎn)量、降價、繁殖等與增長率有關的實際問題，可通過觀察、分析、歸納出數(shù)據(jù)成等差數(shù)列還是等比數(shù)列，然后用兩個基礎數(shù)列的知識進行解答.此種題型屬于應用問題中的數(shù)列模型.

∴ 人均住房面積為≈4.92