f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0，   f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．

因為|c|＜1，所以f(a)=-c2+1＞0．

當(dāng)b+c≠0時，f(x)=(b+c)x+bc+1為x的一次函數(shù)．

因為|b|＜1，|c|＜1，

當(dāng)b+c=0時，即b=-c，    f(a)=bc+1=-c2+1．

f(a)=(b+c)a+bc+1．

(2)將ab+bc+ca+1寫成(b+c)a+bc+1，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1．則

當(dāng)k＜0時，函數(shù)f(x)=kx+h在x∈R上是減函數(shù)，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0．

所以對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立．

分析：問題(1)實質(zhì)上是要證明，一次函數(shù)f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若區(qū)間兩個端點的函數(shù)值均為正，則對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性質(zhì)是由于一次函數(shù)是單調(diào)的．因此本問題的證明要從函數(shù)單調(diào)性入手．

(1)證明：

當(dāng)k＞0時，函數(shù)f(x)=kx+h在x∈R上是增函數(shù)，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；

若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，則ab+bc+ca＞-1．

分析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖2)．它們的交點橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D．至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了．實際上這是要比較與2的大小．當(dāng)x=2時，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應(yīng)選C．

說明：本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間．?dāng)?shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫．不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算的鄰近兩個函數(shù)值，通過比較其大小進(jìn)行判斷．

例11．(1)一次函數(shù)f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，則對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，試證明之；

(2)試用上面結(jié)論證明下面的命題：

4．樹立函數(shù)思想，使學(xué)生善于用運動變化的觀點分析問題．

本部分內(nèi)容的重點是：通過對問題的講解與分析，使學(xué)生能較好的調(diào)動函數(shù)的基礎(chǔ)知識解決問題，并在解決問題中深化對基礎(chǔ)知識的理解，深化對函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想的理解與運用．

難點是：函數(shù)思想的理解與運用，推理論證能力、綜合運用知識解決問題能力的培養(yǎng)與提高．

函數(shù)的綜合運用主要是指運用函數(shù)的知識、思想和方法綜合解決問題．函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，是對問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系．因此，運動變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓，掌握有關(guān)函數(shù)知識是運用函數(shù)思想的前提，提高用初等數(shù)學(xué)思想方法研究函數(shù)的能力，樹立運用函數(shù)思想解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的意識是運用函數(shù)思想的關(guān)鍵．

1．準(zhǔn)確理解、熟練運用，不斷深化有關(guān)函數(shù)的基礎(chǔ)知識

在中學(xué)階段函數(shù)只限于定義在實數(shù)集合上的一元單值函數(shù)，其內(nèi)容可分為兩部分．第一部分是函數(shù)的概念和性質(zhì)，這部分的重點是能從變量的觀點和集合映射的觀點理解函數(shù)及其有關(guān)概念，掌握描述函數(shù)性質(zhì)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七類常見函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù))的圖象和性質(zhì)．第一部分是理論基礎(chǔ)，第二部分是第一部分的運用與發(fā)展．

例9．已知函數(shù)f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的個數(shù)是．（　　　 ）

A．0       B．1      C．0或1      D．1或2

分析：這里首先要識別集合語言，并能正確把集合語言轉(zhuǎn)化成熟悉的語言．從函數(shù)觀點看，問題是求函數(shù)y=f(x)，x∈F的圖象與直線x=1的交點個數(shù)(這是一次數(shù)到形的轉(zhuǎn)化)，不少學(xué)生常誤認(rèn)為交點是1個，并說這是根據(jù)函數(shù)定義中“惟一確定”的規(guī)定得到的，這是不正確的，因為函數(shù)是由定義域、值域、對應(yīng)法則三要素組成的．這里給出了函數(shù)y=f(x)的定義域是F，但未明確給出1與F的關(guān)系，當(dāng)1∈F時有1個交點，當(dāng)1 F時沒有交點，所以選C．

2．掌握研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)問題的能力

高中數(shù)學(xué)對函數(shù)的研究理論性加強(qiáng)了，對一些典型問題的研究十分重視，如求函數(shù)的定義域，確定函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的奇偶性，判斷或證明函數(shù)在指定區(qū)間的單調(diào)性等，并形成了研究這些問題的初等方法，這些方法對分析問題能力，推理論證能力和綜合運用數(shù)學(xué)知識能力的培養(yǎng)和發(fā)展是十分重要的．

函數(shù)、方程、不等式是相互聯(lián)系的．對于函數(shù)f(x)與g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)則分別構(gòu)成方程和不等式，因此對于某些方程、不等式的問題用函數(shù)觀點認(rèn)識是十分有益的；方程、不等式從另一個側(cè)面為研究函數(shù)提供了工具．

例10．方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（　　　 ）

A．(0，1)          B．(1，2)

C．(2，3)          D．(3，+∞)