例9．某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛?

解：設(shè)2001年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，……，每年新增汽車萬輛，則

            ，

所以，當(dāng)時，，兩式相減得：

（1）顯然，若，則，即，此時

（2）若，則數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，.

（i）若，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，，此時，

（ii）當(dāng)時，，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，，

由，得

，

要使對于任意正整數(shù)，均有恒成立，

即      

對于任意正整數(shù)恒成立，解這個關(guān)于x的一元一次不等式 ， 得

，

上式恒成立的條件為：，由于關(guān)于的函數(shù)單調(diào)遞減，所以，.

率為（1－0.9）（1－0.85）=0.015，損失期望值為400×0.015=6（萬元），所以總費(fèi)用為75+6=81（萬元）.

綜合①、②、③、④，比較其總費(fèi)用可知，應(yīng)選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，可使總費(fèi)

用最少.

損失期望值為400×0.15=60（萬元），所以總費(fèi)用為30+60=90（萬元）；

④若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，則預(yù)防措施費(fèi)用為45+30=75（萬元），發(fā)生突發(fā)事件的概

③若單獨(dú)采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費(fèi)用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.85=0.15，

1－0.9=0.1，損失期望值為400×0.1=40（萬元），所以總費(fèi)用為45+40=85（萬元）

解：①不采取預(yù)防措施時，總費(fèi)用即損失期望為400×0.3=120（萬元）；

       ②若單獨(dú)采取措施甲，則預(yù)防措施費(fèi)用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為

旦發(fā)生，將造成400萬元的損失. 現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用. 單獨(dú)采用甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為45萬元和30萬元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0.9和0.85. 若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采用、聯(lián)合采用或不采用，請確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少.（總費(fèi)用=采取預(yù)防措施的費(fèi)用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值.）

例8．（2004年湖北卷）某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一

解：（1）ξ、η的可能取值分別為3，2，1，0.

，

根據(jù)題意知ξ+η=3，所以  P(η=0)=P(ξ=3)=， P(η=1)=P(ξ=2)=

P(η=2)=P(ξ=1)= ，  P(η=3)=P(ξ=0)= .

   （2）； 因為ξ+η=3，所以 

例7．（2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷理工農(nóng)醫(yī)類20））

A、B兩個代表隊進(jìn)行乒乓球?qū)�抗賽，每隊三名隊員，A隊隊員是A₁，A₂，A₃，B

隊隊員是B₁，B₂，B₃，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負(fù)概率如下：

對陣隊員

A隊隊員勝的概率

A隊隊員負(fù)的概率

A₁對B₁

A₂對B₂

A₃對B₃

現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負(fù)隊得0分，設(shè)A隊、B隊最后所得總分分別為ξ、η

   （1）求ξ、η的概率分布；

   （2）求Eξ，Eη.

分析：本小題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識解決實際問題的能力.