例6．求證下列不等式

（1） 

（2） 

（3） 

證：（1）  

∴ 為上    ∴    恒成立

∴     

∴ 在上  ∴  恒成立

（2）原式   令     

∴    ∴     

       ∴

（3）令  

     ∴

∴

例5． 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間

（1）      （2）

（3）                （4）

解：（1）  時

   ∴ ， 

（2）   ∴ ，

（3） 

∴      

∴ ，   ，

（4）  定義域為

例4．（1）求曲線在點（1，1）處的切線方程；

　�。�2）運動曲線方程為，求t=3時的速度。

　　分析：根據(jù)導數(shù)的幾何意義及導數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導數(shù)就是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數(shù)S(t)對時間的導數(shù)。

　　解：（1），

　　，即曲線在點（1，1）處的切線斜率k=0

　　因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1

　�。�2）

　　。

例3．觀察，，，是否可判斷，可導的奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)。

解：若為偶函數(shù)        令

∴ 可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)

    另證：

∴ 可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)

例2．已知f(x)在x=a處可導，且f′(a)=b，求下列極限：

　�。�1）；  （2）

　　分析：在導數(shù)定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不論△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對應的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。

　　解：（1）

　�。�2）

說明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應用概念解題。解決這類問題的關鍵是等價變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。

例1．   在處可導，則            

思路：   在處可導，必連續(xù)          ∴

        ∴    

2．利用導數(shù)判別可導函數(shù)的極值的方法及求一些實際問題的最大值與最小值．

復合函數(shù)的求導法則是微積分中的重點與難點內(nèi)容。課本中先通過實例，引出復合函數(shù)的求導法則，接下來對法則進行了證明。

3．要能正確求導，必須做到以下兩點：

（1）熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導公式以及和、差、積、商的求導法則，復合函數(shù)的求導法則。

（2）對于一個復合函數(shù)，一定要理清中間的復合關系，弄清各分解函數(shù)中應對哪個變量求導。

4．求復合函數(shù)的導數(shù)，一般按以下三個步驟進行：

(1）適當選定中間變量，正確分解復合關系；（2）分步求導（弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導）；（3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。

也就是說，首先，選定中間變量，分解復合關系，說明函數(shù)關系y=f(μ)，μ=f(x)；然后將已知函數(shù)對中間變量求導，中間變量對自變量求導；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個過程可簡記為分解――求導――回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復合，可以相應地多次用中間變量。

1．導數(shù)概念的理解．

3．導數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應引起注意。

2．關于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便。