15. （本題滿分14分）已知向量，若，且

    （I）試求出和的值；    （II）求的值。

16. （本題滿分14分）已知等腰梯形PDCB中（如圖1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A為PB邊上一點(diǎn)，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD.

   （1）證明：平面PAD⊥平面PCD；  （2）試在棱PB上確定一點(diǎn)M，使截面AMC把幾何體分成的兩部分幾何體的體積之比。

17. （本題滿分15分）設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點(diǎn)P、Q，且.   

⑴求橢圓C的離心率；    ⑵若過(guò)A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l：相切，求橢圓C的方程.

18. （本題滿分15分）某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個(gè)矩形高科技工業(yè)園區(qū)。已知，且，曲線段OC是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)且開(kāi)口向右的拋物線的一段。如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個(gè)頂點(diǎn)落在曲線段OC上，問(wèn)應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大？并求出最大的用地面積（精確到0.1km²）

19. （本題滿分16分）已知數(shù)列{a_n}中，a₁＝，點(diǎn)(n，2a_n＋1－a_n)(n∈N^*)在直線y＝x上，（1）計(jì)算a₂，a₃，a₄的值；（2）令b_n＝a_n＋1－a_n－1，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；（3）設(shè)S_n、T_n分別為數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列？若存在，試求出λ．的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

20. （本題滿分16分）設(shè)、是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).

（I）若，求函數(shù)的解析式；

（II）若，求的最大值;

（III）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，

求證：

第Ⅱ卷附加題部分

附加題部分包含選做題（從4題中選做2題）、必做題（共2題），滿分40分，考試時(shí)間30分。

1.選修4-1幾何證明選講

如圖，已知為圓O的直徑，直線與圓O相切于點(diǎn)，直線與弦垂直并相交于點(diǎn)，與弧相交于，連接,,.

（1）求證：;

（2）求。

2.選修4-2：矩陣與變換

設(shè)數(shù)列滿足，且滿足，試求二階矩陣。

3.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

求經(jīng)過(guò)極點(diǎn)三點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程。

4.選修4-5：不等式選講

已知實(shí)數(shù)滿足，試證明。

5．（本小題滿分10分）已知數(shù)列中，a_n=n（n+1）（n+2）.又S_n=kn（n+1）（n+2）（n+3），試確定常數(shù)k，使S _n恰為的前n項(xiàng)的和，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

6.用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，設(shè)事件表示“五位數(shù)為奇數(shù)”，事件表示“萬(wàn)位上的數(shù)字為2或4”。

（1）試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：事件和是否為相互獨(dú)立事件？

（2）求。

數(shù)學(xué)模擬試卷答案

1．   2． 80   3．    4．1－i   5．  6．m＝0，n＝1     7．15

8．  9．2550  10．①  ③    11．（1）、（2）、（3） 12．－2008   13．

14．72

15、解：解：（I）       

    即             

    （II）     

    又            

16、解：（1）證明：依題意知：

   （2）由（I）知平面ABCD

       ∴平面PAB⊥平面ABCD.                       

     在PB上取一點(diǎn)M，作MN⊥AB，則MN⊥平面ABCD，

       設(shè)MN=h

       則

       要使

       即M為PB的中點(diǎn).

17、 ⑴解：設(shè)Q（x₀，0），由F（-c，0）

A（0，b）知

    設(shè)，

得

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以

整理得2b²=3ac，即2(a²－c²)=3ac，,故橢圓的離心率e=

⑵由⑴知， 于是F（－a，0） Q，

△AQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a

所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求橢圓方程為

18、解：以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系如圖，依題意可設(shè)拋物線方程為，且C（4，2）

故曲線段OC的方程為

設(shè)是曲線段OC上的任意一點(diǎn)，則在矩    形PQBN中，

    工業(yè)區(qū)面積      

    ，令得

    當(dāng)時(shí)，，S是y的增函數(shù)

    當(dāng)時(shí)，，S是y的減函數(shù)           

    時(shí)，S取到極大值，此時(shí)

    ，故       

    時(shí)，         

    所以，把工業(yè)園區(qū)規(guī)劃成長(zhǎng)為，寬為的矩形時(shí)，

    工業(yè)園區(qū)的面積最大，最大面積約為        

19、解：(1)由題意，2a_n＋1－a_n＝n，又a₁＝，所以2a₂－a₁＝1，解得a₂＝，

同理a₃＝，a₄＝．

(2)因?yàn)?a_n＋1－a_n＝n，所以b_n＋1＝a_n＋2－a_n＋1－1＝－a_n＋1－1＝，

b­_n＝a_n＋1－a_n－1＝a_n＋1－(2a_n＋1－n)－1＝n－a_n＋1－1＝2b_n＋1，即＝

又b₁＝a₂－a₁－1＝－，所以數(shù)列{b_n}是以－為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．

(3)由(2)得，b_n＝－×()＝－3×()，T_n＝＝3×()－．

又a_n＋1＝n－1－b_n＝n－1＋3×()，所以a_n＝n－2＋3×()ⁿ，

所以S_n＝－2n＋3×＝＋3－．

由題意，記c_n＝．要使數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列，只要c_n＋1－c_n為常數(shù)．

c_n＝＝＝＋(3－λ)×，

c_n－1＝＋(3－λ)×，則c_n－c_n－1＝＋(3－λ)×(－)．故當(dāng)λ＝2時(shí)，c_n－c_n－1＝為常數(shù)，即數(shù)列{}為等差數(shù)列．

20、 解（I）∵，∴          

依題意有，∴.                          

解得，∴. .                             

    （II）∵,

依題意，是方程的兩個(gè)根，且，

        ∴.

        ∴，∴.

        ∵∴.

        設(shè)，則.

        由得，由得.

        即：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，

        ∴當(dāng)時(shí)，有極大值為96，∴在上的最大值是96，

       ∴的最大值為.                                                      

（III） 證明：∵是方程的兩根，

∴.                                               

∵，，∴.

∴

∵，即∴                                           ∴

.                                    

∴成立.