2.答案：D

解析：設(shè)=(x，y)，=(3，1)，=(－1，3)，α=(3α，α)，

β=(－β，3β)

又α+β=(3α－β，α+3β)

∴(x，y)=(3α－β，α+3β)，∴

又α+β=1　 因此可得x+2y=5

評述：本題主要考查向量法和坐標法的相互關(guān)系及轉(zhuǎn)換方法.

1.答案：D

解析：因為(a·b)c=|a|·|b|·cosθ·c而a(b·c)=|b|·|c|·cosα·a而c方向與a方向不一定同向.

評述：向量的積運算不滿足結(jié)合律.

29.(1995上海，21)如圖5-13在空間直角坐標系中BC=2，原點O是BC的中點，點A的坐標是(，0)，點D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.

(1)求向量的坐標；

(2)設(shè)向量和的夾角為θ，求cosθ的值.

●答案解析

28.(1999上海，20)如圖5-12，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角.

(1)若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；

(2)求異面直線AE與CD所成角的大小.

27.(2000全國理，18)如圖5-11，已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°.

(1)證明：C₁C⊥BD；

(2)假定CD=2，CC₁=，記面C₁BD為α，面CBD為β，求二面角α-BD-β的平面角的余弦值；

(3)當的值為多少時，能使A₁C⊥平面C₁BD？請給出證明.

26.(2000天津、江西、山西)如圖5-10所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點.

(1)求的長；

(2)求cos< >的值；

(3)求證：A₁B⊥C₁M.

25.(2000上海，18)如圖5-9所示四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中點，異面直線AD與BE所成的角的大小為arccos，求四面體ABCD的體積.

圖5-9　　　　 圖5-10　　　　　 圖5-11

24.(2000上海春，21)四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個平行四邊形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.

(1)求證：PA⊥底面ABCD；

(2)求四棱錐P-ABCD的體積；

(3)對于向量a={x₁，y₁，z₁}，b={x₂，y₂，z₂}，c={x₃，y₃，z₃}，定義一種運算：

(a×b)·c=x₁y₂z₃+x₂y₃z₁+x₃y₁z₂－x₁y₃z₂－x₂y₁z₃－x₃y₂z₁，試計算(×)·的絕對值的值；說明其與四棱錐P-ABCD體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運算(×)·的絕對值的幾何意義.

23.(2001上海)在棱長為a的正方體OABC-O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE=BF.如圖5-8.

(1)求證：A′F⊥C′E.

(2)當三棱錐B′-BEF的體積取得最大值時，求二面角B′-EF-B的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)

22.(2001上海春)在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E、F分別在BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D.

(1)求證：A₁C⊥平面AEF；

(2)若規(guī)定兩個平面所成的角是這兩個平面所組成的二面角中的銳角(或直角).則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個平面，則這兩條直線所成的角與這兩個平面所成的角相等.

試根據(jù)上述定理，在AB=4，AD=3，AA₁=5時，求平面AEF與平面D₁B₁BD所成角的大小.(用反三角函數(shù)值表示)