記l²=g(t)=-[t-2(x₀-3)]²+4(x₀-1)^2.

若x₀>3,則2(x₀-3) (0, 4x₀-8),所以當(dāng)t=2(x₀-3),即=2(x₀-3)時(shí),

l有最大值2(x₀-1).

若2<x₀<3,則2(x₀-3)0,g(t)在區(qū)間（0，4 x₀-8）上是減函數(shù)，

所以0<l²<16(x₀-2),l不存在最大值.

綜上所述，當(dāng)x₀>3時(shí)，點(diǎn)P（x₀,0）的“相關(guān)弦”的弦長中存在最大值，且最大值

為2（x₀-1）；當(dāng)2< x₀3時(shí)，點(diǎn)P（x₀,0）的“相關(guān)弦”的弦長中不存在最大值.

而于是故點(diǎn)P（x₀,0）的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是x₀-2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直線的方程是，代入中，

整理得     （?）

則是方程（?）的兩個(gè)實(shí)根，且

設(shè)點(diǎn)P的“相關(guān)弦”AB的弦長為l，則

因?yàn)?<<4x_m=4(x_m-2) =4x₀-8,于是設(shè)t=,則t(0,4x₀-8).

兩式相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）.因?yàn)?i>x₁x₂,所以y₁+y₂0.

設(shè)直線AB的斜率是k，弦AB的中點(diǎn)是M（x_m, y_m）,則

k=.從而AB的垂直平分線l的方程為

又點(diǎn)P（x₀,0）在直線上，所以

存在無窮多條“相關(guān)弦”.給定x₀>2.

（I）證明：點(diǎn)P（x₀,0）的所有“相關(guān)弦” 中的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；

(II) 試問：點(diǎn)P（x₀,0）的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？

若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，請(qǐng)說明理由.

解: （I）設(shè)AB為點(diǎn)P（x₀,0）的任意一條“相關(guān)弦”，且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是

（x₁,y₁）、（x₂,y₂）（x₁x₂）,則y²₁=4x_1, y²₂=4x₂,

20.（本小題滿分13分）

若A、B是拋物線y²=4x上的不同兩點(diǎn)，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與

x軸相交于點(diǎn)P，則稱弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)x>2時(shí)，點(diǎn)P（x,0）

由于AE=55>40=AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE=AE-AQ=15.

過點(diǎn)E作EP BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.

在Rt中，PE=QE?sin

=

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

所以過點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.

又點(diǎn)E（0，-55）到直線l的距離d=

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

解法二:  如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點(diǎn)Q.

在△ABC中，由余弦定理得，

==.

從而

在中，由正弦定理得，

AQ=

19.（本小題滿分13分）

在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東+(其中sin=，)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.

（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）;

（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷

它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說明理由.

解:  （I）如圖，AB=40，AC=10，

由于,所以cos=

由余弦定理得BC=

所以船的行駛速度為（海里/小時(shí)）.

（II）解法一   如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x₁，y₂）, C（x₁，y₂）,

BC與x軸的交點(diǎn)為D.

由題設(shè)有，x₁=y₁= AB=40,

x₂=ACcos,

y₂=ACsin

所以數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，      ①

     ②

   ①-②得，

   所以

   要證明當(dāng)時(shí)，成立，只需證明當(dāng)時(shí)，成立.

   證法一

   (1)當(dāng)n = 6時(shí)，成立.

   (2)假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即

   則當(dāng)n=k+1時(shí)，

   由(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時(shí)，.即當(dāng)n≥6時(shí)，

   證法二

   令，則

   所以當(dāng)時(shí)，.因此當(dāng)時(shí)，

于是當(dāng)時(shí)，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此

當(dāng)時(shí)，