記l²=g(t)=-[t-2(x₀-3)]²+4(x₀-1)^2.

若x₀>3,則2(x₀-3) (0, 4x₀-8),所以當t=2(x₀-3),即=2(x₀-3)時,

l有最大值2(x₀-1).

若2<x₀<3,則2(x₀-3)0,g(t)在區(qū)間（0，4 x₀-8）上是減函數(shù)，

所以0<l²<16(x₀-2),l不存在最大值.

綜上所述，當x₀>3時，點P（x₀,0）的“相關(guān)弦”的弦長中存在最大值，且最大值

為2（x₀-1）；當2< x₀3時，點P（x₀,0）的“相關(guān)弦”的弦長中不存在最大值.

而于是故點P（x₀,0）的所有“相關(guān)弦”的中點的橫坐標都是x₀-2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直線的方程是，代入中，

整理得     （?）

則是方程（?）的兩個實根，且

設(shè)點P的“相關(guān)弦”AB的弦長為l，則

因為0<<4x_m=4(x_m-2) =4x₀-8,于是設(shè)t=,則t(0,4x₀-8).

兩式相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）.因為x₁x₂,所以y₁+y₂0.

設(shè)直線AB的斜率是k，弦AB的中點是M（x_m, y_m）,則

k=.從而AB的垂直平分線l的方程為

又點P（x₀,0）在直線上，所以

存在無窮多條“相關(guān)弦”.給定x₀>2.

（I）證明：點P（x₀,0）的所有“相關(guān)弦” 中的中點的橫坐標相同；

(II) 試問：點P（x₀,0）的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？

若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，請說明理由.

解: （I）設(shè)AB為點P（x₀,0）的任意一條“相關(guān)弦”，且點A、B的坐標分別是

（x₁,y₁）、（x₂,y₂）（x₁x₂）,則y²₁=4x_1, y²₂=4x₂,

20.（本小題滿分13分）

若A、B是拋物線y²=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與

x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關(guān)弦”.已知當x>2時，點P（x,0）

由于AE=55>40=AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE=AE-AQ=15.

過點E作EP BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離.

在Rt中，PE=QE?sin

=

所以船會進入警戒水域.

所以過點B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.

又點E（0，-55）到直線l的距離d=

所以船會進入警戒水域.

解法二:  如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點Q.

在△ABC中，由余弦定理得，

==.

從而

在中，由正弦定理得，

AQ=

19.（本小題滿分13分）

在一個特定時段內(nèi)，以點E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東且與點A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東+(其中sin=，)且與點A相距10海里的位置C.

（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）;

（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷

它是否會進入警戒水域，并說明理由.

解:  （I）如圖，AB=40，AC=10，

由于,所以cos=

由余弦定理得BC=

所以船的行駛速度為（海里/小時）.

（II）解法一   如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，

設(shè)點B、C的坐標分別是B（x₁，y₂）, C（x₁，y₂）,

BC與x軸的交點為D.

由題設(shè)有，x₁=y₁= AB=40,

x₂=ACcos,

y₂=ACsin

所以數(shù)列是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，因此

故數(shù)列的通項公式為

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，      ①

     ②

   ①-②得，

   所以

   要證明當時，成立，只需證明當時，成立.

   證法一

   (1)當n = 6時，成立.

   (2)假設(shè)當時不等式成立，即

   則當n=k+1時，

   由(1)、(2)所述，當n≥6時，.即當n≥6時，

   證法二

   令，則

   所以當時，.因此當時，

于是當時，

綜上所述，當時，

所以數(shù)列是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，因此

當時，