兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子來表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對數(shù)進(jìn)行分類，如圖4中的實(shí)心點(diǎn)個數(shù)1，5，12，22，…， 被稱為五角形數(shù)，其中第1個五角形數(shù)記作，第2個五角形數(shù)記作，第3個五角形數(shù)記作，第4個五角形數(shù)記作，……，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，若，則                     ．

1         5            12               22

設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，對任意的，都有(為正常數(shù))．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對于任意的，總有成等差數(shù)列.
(1)求；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求證:對任意正整數(shù)，總有

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁＝－7,，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的最小值為________．

設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

設(shè)公差為（）的等差數(shù)列與公比為（）的等比數(shù)列有如下關(guān)系：，，．
（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記，，，求集合中的各元素之和。

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意滿足，且．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

已知是等差數(shù)列，，公差，為其前項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，則    .

在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和          .

已知無窮數(shù)列中，、 、、構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為－2的等差數(shù)列，、、、，構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其中，.
（1）當(dāng)，，時，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若對任意的，都有成立．
①當(dāng)時，求的值；
②記數(shù)列的前項(xiàng)和為．判斷是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.