1、已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形且AB=1，AA₁=2，點E為CC₁的中點，點F為BD₁中點，求證EF為BD₁和CC₁的公垂線

2、如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90⁰，AC=1，CB=，側(cè)棱AA₁=1，側(cè)面AA₁B₁B的兩條對角線的交點為D，B₁C₁的中點為M，求證：CD⊥平面BDM

3、在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的點，試確定點F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F

4、四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=1，BC=a(a>1),PA⊥平面ABCD，PA=1，點Q在BC上，問是否對任意的a>1，都存在Q∈BC使得PQ⊥DQ？證明你的結(jié)論。

[答案]3、F為CD的中點

4、a≥2時，存在點Q(1,,0)；當(dāng)1<a<2時，不存在滿足條件的點Q

3.2.2空間線面關(guān)系的判定（2）-----空間線面、面面關(guān)系

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點]用向量方法判斷空間線面平行與垂直關(guān)系

[教學(xué)難點]用向量方法判斷空間線面平行與垂直關(guān)系

[教學(xué)過程]

一、復(fù)習(xí)引入

1、用向量研究空間線面關(guān)系，設(shè)空間兩條直線的方向向量分別為，兩個平面的法向量分別為，則由如下結(jié)論

平  行

垂  直

與

與

與

二、數(shù)學(xué)運用

例1、 如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點分別在對角線上，且AN與AE滿足什么數(shù)量關(guān)系時,平面

證明：以、、為正交基底，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，設(shè)AN=xAE,AB,AD,AF長分別為3a,3b,3c，B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c)

=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c)

x

(2a,(-3x+1)b,xc)又平面CDE的一個法向量

NM//平面ECD,

由(-3x+1)b²=0x=

故AE=AE時，平面

例2、在正方體中,E,F分別是BB_1,,CD中點，問過D₁F的任何一個平面是否垂直平面ADE？

分析：只要驗證D₁F是否垂直平面ADE即可

證明：設(shè)正方體棱長為1，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz

,

因為所以

所以平面

故D₁F的任何一個平面垂直平面ADE

[另法]（找平面ADE的一個法向量，看是否平行于即可）

設(shè)平面ADE的一個法向量=(x,y,z),則，解得x=0,z=-2y, =(0,y,-2y) ∥，所以平面

故D₁F的任何一個平面垂直平面ADE

   例3、四棱錐P-ABCD底面是一直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，PA⊥平面ABCD，E為PC的中點(1)求證：BE∥平面PAD；(2)平面EBD是否垂直平面ABCD，證明你的結(jié)論

[方法一]原來思路⑴取PD的中點F，F(xiàn)EAB,ABEF是平行四邊形，BE∥AF，BE、AF分別在平面PAD外、內(nèi)，故：BE∥平面PAD

⑵如果平面EBD⊥平面ABCD，交線為BD，則過E作EO⊥BD，EO⊥平面ABCD，∵PA⊥平面ABCD∴EO∥PA  ∵E為PC中點∴O為AC的中點  ∵ABCD是直角梯形∴O不在BD上，與O在BD上矛盾，平面EBD不垂直平面ABCD

[方法二]（空間向量）⑴==(+)=(+)=

(+)=(+),與、共面,但BE平面PAD ∴BE∥平面PAD⑵、、不共面，AP與平面BED不平行，平面EBD不垂直平面ABCD

[方法三]（借助空間直角坐標(biāo)系）

⑴以A為原點，、、分別為x、y、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)D(-a,0,0),B(0,b,0), P(0,0,c),則C(-a,2b,0),E(-,b,),

=(-,0,)= (+),∴與、共面，又BE平面PAD ∴BE∥平面PAD

⑵平面ABCD的法向量為=P(0,0,c)，設(shè)平面BED的法向量為=(x,y,z),則

=-=0，=-ax-by=0,解得y=-,z=,取x=1,

有平面BED的法向量=(1,-,), =a≠0，故平面EBD不垂直平面ABCD

1、如圖E、F、G、H分別為正方體AC₁的棱A₁B₁、A₁D₁、B₁C₁、D₁C₁的中點，求證

(1)E、F、G、H四點共面  (2)平面AEF∥平面BDHG

   2、如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中點，求證

(1)DM∥平面ABC   (2)DE=DA

   3、如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，EF⊥PB于F，求證PA∥平面EDB，PB⊥平面EFD

4、已知PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N為AB、PC的中點，且PA=AD，求證：平面MND⊥平面PDC

5、已知四棱錐P-ABCD底面是邊長為a的菱形，且∠ABC=120⁰，又PC⊥平面AC，PC=h，問在棱PA上是否存在一點E，使平面EBD⊥平面ABCD

答案：5、E為PA中點時滿足條件

3.2.3空間的角的計算（1）----線線、線面角

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點]異線角與線面角的計算

[教學(xué)難點]異線角與線面角的計算

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情景

1、異面直線所稱的角、線面角的定義及求解方法

2、向量的夾角公式

二、數(shù)學(xué)運用

例1 在正方體中,E₁，F(xiàn)₁分別在A₁B_1,,C₁D₁上，且E₁B₁=A₁B₁，D₁F₁=D₁C₁，求BE₁與DF₁所成角的余弦值。

解1：(幾何法)作平行線構(gòu)造兩條異面直線所成的角

解2：（向量法）設(shè)，則且

解3：（坐標(biāo)法）設(shè)正方體棱長為4，以為正交基底，建立如圖所示空間坐標(biāo)系

,，＝15

注意：兩向量的夾角為銳角或直角時是兩條直線的成角，為鈍角時為兩向量成角的補角

練習(xí)：教材P96----練習(xí)1，2

練習(xí)2：在三棱錐S―ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=

（1）求證：SC⊥BC；

（2）求SC與AB所成角的余弦值

解：如圖，取A為原點，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有AC=2，BC=，SB=，

得B（0,,0）、S（0,0,2）、C（2,,0），

∴ =（2,,-2），=（－2,,0）

（1）∵?=0，∴SC⊥BC

（2）設(shè)SC與AB所成的角為α，

∵=（0,,0），?=4，||||=4，

∴cosα=，即為所求

例2 在正方體中, F分別是BC的中點，點E在D₁C₁上,且D₁C₁,試求直線E₁F與平面D₁AC所成角的余弦值

解：設(shè)正方體棱長為1，以為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz

為D₁AC平面的法向量，

    所以直線E₁F與平面D₁AC所成角的余弦值為

設(shè)平面的斜線l與平面所的角為₁，斜線l與平面的法向量所成角₂，則₁與₂互余或與₂的補角互余。

練習(xí)1：P96---練習(xí)3

三、回顧總結(jié)

1、求兩直線角的方法：求兩直線方向向量成角，若為銳角或直角就是兩直線的成角；為鈍角時，為兩向量成角的補角

2、求線面成角的方法：求直線與平面的法向量的成角θ，|θ-90⁰|為所求.

[補充習(xí)題]已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB的中點，P為正方體對角線A₁C上任意一點，求直線A₁C與平面PEB₁成角正弦值的范圍

[答案]

3.2.2空間的角的計算（2）――二面角的求法

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點]二面角的計算

[教學(xué)難點]二面角的計算

[教學(xué)過程]

一、創(chuàng)設(shè)情景

1、二面角的定義及求解方法

2、平面的法向量的定義法向量在求面面角中的應(yīng)用：

原理：一個二面角的平面角₁與這個二面角的兩個半平面的法向量所成的角₂相等或互補。

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

利用向量求二面角的大小。

方法一：轉(zhuǎn)化為分別是在二面角的兩個半平面內(nèi)且與棱都垂直的兩條直線上的兩個向量的夾角（注意：要特別關(guān)注兩個向量的方向）如圖：二面角α-l-β的大小為θ，

A，B∈l，ACα，BDβ, AC⊥l，BD⊥l 則θ=<, >=<, > 

方法二：先求出二面角一個面內(nèi)一點到另一個面的距離及到棱的距離，

然后通過解直角三角形求角。

如圖：已知二面角α-l-β，在α內(nèi)取一點P，

過P作PO⊥β，及PA⊥l,連AO，則AO⊥l成立，∠PAO就是二面角的平面角

用向量可求出|PA|及|PO|，然后解三角形PAO 求出∠PAO。

方法三：轉(zhuǎn)化為求二面角的兩個半平面的法向量夾角的補角。

如圖（1）P為二面角α-l-β內(nèi)一點，作PA⊥α，

PB⊥β，則∠APB與二面角的平面角互補。

三、數(shù)學(xué)運用

例1、 在正方體中,求二面角的大小。

解：設(shè)正方體棱長為1，以為單位正交基底，

建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz

（法一）,

（法二）求出平面與平面的法向量

例4 、已知E,F分別是正方體的棱BC和CD的中點，求：

（1）A₁D與EF所成角的大小；

（2）A₁F與平面B₁EB所成角的大��；

（3）二面角的大小。

解：設(shè)正方體棱長為1，以為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz

（1）

A₁D與EF所成角是

（2）,

（3）,，

二面角的正弦值為

練習(xí)：教材：P97---練習(xí)4，5

四、回顧總結(jié)

1、二面角的向量解法

2、法向量的夾角與二面角相等或互補的判斷：

五、布置作業(yè)：教材P97---98習(xí)題3，5，10，13

[補充習(xí)題]

1、空間一點P到二面角α-l-β的兩個面α、β及棱l的距離分別為、、2，則這個二面角的大小為_______

2、如圖在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB=FB=1

⑴求二面角C-DE-C₁的正切值；⑵求直線EC₁與FD₁所成角的余弦值

3、在正四棱柱ABCDF-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱是底面邊長的2倍，P是CC₁上的任意一點

⑴求證：總有BD⊥AP；⑵若CC₁=3C₁P，求平面AB₁P與平面ABCD所成的二面角的余弦值；⑶當(dāng)點P在CC₁上何處時，AP在平面B₁AC上的射影是∠B₁AC的平分線

[答案]

1、15⁰或165⁰或75⁰或105⁰

2、⑴；⑵

3、⑴略；⑵；⑶PC=CC₁

                                 知識匯總

一、基本結(jié)論

空間向量是由平面向量推廣而來，所以空間向量中的許多結(jié)論與平面向量有類似結(jié)論

1、共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//的充要條件是存在實數(shù)λ，使＝λ.

2、共面向量定理  如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組，使得

3、空間向量的基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使

4、數(shù)量積：＝= a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂

二、應(yīng)用

  1、空間中的線面關(guān)系

⑴直線與直線：兩直線a,b的方向向量分別為、，

a∥b∥=x

a⊥b⊥=0

⑵直線與平面：直線a的方向向量為，平面α的法向量為

a∥α與α內(nèi)兩不共線向量、共面（=x+y）且aα且aα

a⊥α與α內(nèi)兩不共線向量、垂直（數(shù)量積為0）∥

⑶平面與平面：平面α、β法向量分別為、

α∥βα內(nèi)兩不共線向量平行于β∥

α⊥β⊥∥ α

   2、空間中的角

⑴空間兩直線的成角：兩直線a,b的方向向量為、，直線a,b的成角為θ，則cosθ=|cos<,>|

⑵直線與平面的成角：設(shè)直線a的方向向量為，平面α大法向量為，則a與α的成角為

||

⑶二面角的平面角：二面角α-l-β的平面角為θ,α、β的法向量分別為、

若在α、β內(nèi)分別存在OA⊥l,OB⊥l,O為l上一點，則θ=<>

θ與<,>相等或互補

練習(xí)：教材復(fù)習(xí)題11，12

作業(yè)：復(fù)習(xí)題1~10