1．導數(shù)的常規(guī)問題：

（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細微）；（2）同幾何中切線聯(lián)系（導數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；（3）應用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于次多項式的導數(shù)問題屬于較難類型。

1． 假設每一架飛機引擎飛機中故障率為P，且個引擎是否發(fā)生故障是獨立的，如果有至少50%的引擎能正常運行，問對于多大的P而言，4引擎飛機比2引擎飛機更安全？

解  飛機成功飛行的概率：

4引擎飛機為：

2引擎飛機為：

要使4引擎飛機比2引擎飛機更安全，只要

所以

則P（A）=0.05,  P(B)=0.1,

（1）至少有一件廢品的概率

（2）至多有一件廢品的概率

作業(yè)

例4  要制造一種機器零件，甲機床廢品率為0.05，而乙機床廢品率為0.1，而它們的生產(chǎn)是獨立的，從它們制造的產(chǎn)品中，分別任意抽取一件，求：

（1）其中至少有一件廢品的概率； （2）其中至多有一件廢品的概率.

解： 設事件A為“從甲機床抽得的一件是廢品”；B為“從乙機床抽得的一件是廢品”.

例1 獵人在距離100米處射擊一野兔，其命中率為0.5，如果第一次射擊未中，則獵人進行第二次射擊，但距離150米. 如果第二次射擊又未中，則獵人進行第三次射擊，并且在發(fā)射瞬間距離為200米. 已知獵人的命中概率與距離的平方成反比，求獵人命中野兔的概率.

解  記三次射擊依次為事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。

,命中野兔的概率為

例2  1個產(chǎn)品要經(jīng)過2道加工程序，第一道工序的次品率為3%，第二道工序次品率為2%，求產(chǎn)品的次品率.

解  設“第一道工序出現(xiàn)次品“為事件A，“第二道工序出現(xiàn)次品”為事件B，“至少有一道工序出現(xiàn)次品”該產(chǎn)品就是次品，所求概率為

例3  如圖，某電子器件是由三個電阻組成的回路，其中共有六個焊接點A、B、C、D、E、F，如果某個焊接點脫落，整個電路就會不通。每個焊接點脫落的概率均是，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)電路不通了，那么至少有兩個焊接點脫落的概率是多少？

解：

1． 在100件產(chǎn)品中，有95件合格品，5件次品，從中任取2件，求：

(1)  2件都是合格品的概率；

(2)  2件都是次品的概率；

(3)1件是合格品，1件是次品的概率。

解  從100件產(chǎn)品中任取2件的可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，就是從100個元素中任取2個元素的組合數(shù)，由于任意抽取，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.為基本事件總數(shù).

（1）00件產(chǎn)品中有95件合格品，取到2件合格品的結(jié)果數(shù)，就是從95個元素中任取2個組合數(shù)，記“任取2件都是合格品”為事件A₁，那么

（2）由于在100件產(chǎn)品中有5件次品，取到2件次品的結(jié)果數(shù)為.記“任取2件都是次品”為事件A₂,那么事件A₂的概率為：

（3）記“任取2件，1件是次品，1件是合格品”為種，則事件A₃的概率為：

備用課時三   相互獨立事件同時發(fā)生的概率

例題

答：至少有兩張牌花色相同的概率是0.8945

例3 在20件產(chǎn)品中有15件正品，5件次品，從中任取3件，求：

（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.

解 （1）從20件產(chǎn)品中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法為。

恰有一件次品的概率P=.

(2)法一 從20件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有1件次品為事件A₁,恰有2件次品為事件A₂，3件全是次品為事件A₃,則它們的概率

P(A₁)= =,,,

而事件A₁、A₂、A₃彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率

P(A₁+A₂+A₃)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)= .

法二 記從20件產(chǎn)品中任取3件，3件全是正品為事件A，那么任取3件，至少有1件次品為，根據(jù)對立事件的概率加法公式P()=

例4  1副撲克牌有紅桃、黑桃、梅花、方塊4種花色，每種13張，共52張，從1副洗好的牌中任取4張，求4張中至少有3張黑桃的概率.

解  從52張牌中任取4張，有種取法.“4張中至少有3張黑桃”，可分為“恰有3張黑桃”和“4張全是黑桃”，共有種取法

注  研究至少情況時，分類要清楚。

作業(yè)

  P(A)=P(B₁)+P(B₂)+P(B₃)+P(B₄) 0.8945

解法2 設任取四長牌中至少有兩張牌的花色相同為事件A，則為取出的四張牌的花色各不相同，    P（）=，

1． 袋中有a只黑球b只白球，它們除顏色不同外，沒有其它差別，現(xiàn)在把球隨機地一只一只摸出來，求第k次摸出的球是黑球的概率.

解法一：把a只黑球和b只白球都看作是不同的，將所有的球都一一摸出來放在一直線上的a+b個位置上，把所有的不同的排法作為基本事件的全體，則全體基本事件的總數(shù)為（a+b）！，而有利事件數(shù)為a(a+b-1)!故所求概率為P=。

解法二：把a只黑球和b只白球看作是不同的，將前k次摸球的所有不同可能作為基本事件全體，總數(shù)為，有利事件為，故所求概率為P=

解法三：把只考慮k次摸出球的每一種可能作為基本事件，總數(shù)為a+b，有利事件為a,故所求概率為.

備用課時二   互斥事件有一個發(fā)生的概率

例題

例1 房間里有6個人，求至少有2個人的生日在同一月內(nèi)的概率.

解  6個人生日都不在同一月內(nèi)的概率P()=.故所求概率為P(A)=1-P()=1-.

例2 從一副52張的撲克牌中任取4張，求其中至少有兩張牌的花色相同的概率。

解法1 任取四張牌，設至少有兩張牌的花色相同為事件A；四張牌是同一花色為事件B₁；有3張牌是同一花色，另一張牌是其他花色為事件B₂；每兩張牌是同一花色為事件B₃；只有兩張牌是同一花色，另兩張牌分別是不同花色為事件B₄，可見，B₁,B₂,B₃,B₄彼此互斥，且A=B₁+B₂+B₃+B₄。

P(B₁)= , P(B₂)= ,

   P(B₃)= , P(B₄)= ,

(3)由于骰子是均勻的，將它向桌面先后拋擲2次的所有36種結(jié)果是等可能的，其中“向上的數(shù)之積是12”這一事件記為A.Card(A)=4.所以所求概率P(A)= =.

作業(yè)