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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為:弧田面積=(弦矢+矢2).弧田(如圖),由圓弧和其所對弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.
按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為,弦長等于9米的弧田.
(1)計(jì)算弧田的實(shí)際面積;
(2)按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得結(jié)果與(1)中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差多少平方米?(結(jié)果保留兩位小數(shù))
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【題目】已知橢圓(
)的焦距為4,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)為橢圓
的左焦點(diǎn),直線
,
為橢圓上任意一點(diǎn),證明:點(diǎn)
到
的距離是點(diǎn)
到
距離的
倍.
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【題目】幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項(xiàng)是20,接下來的兩項(xiàng)是20,21,再接下來的三項(xiàng)是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是
A. 440B. 330
C. 220D. 110
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【題目】如圖,在等腰梯形中,
,
,
,四邊形
為矩形,平面
平面
,
.
(1)求證:平面
;
(2)點(diǎn)在線段
上運(yùn)動(dòng),設(shè)平面
與平面
所成二面角的平面角為
(
),試求
的取值范圍.
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【題目】將數(shù)列的前
項(xiàng)分成兩部分,且兩部分的項(xiàng)數(shù)分別是
,若兩部分和相等,則稱數(shù)列
的前
項(xiàng)的和能夠進(jìn)行
等和分割.
(1)若,試寫出數(shù)列
的前
項(xiàng)和所有等和分割;
(2)求證:等差數(shù)列的前
項(xiàng)的和能夠進(jìn)行
等和分割;
(3)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為:
,且數(shù)列
的前
項(xiàng)的和能夠進(jìn)行等和分割,求所有滿足條件的
.
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【題目】(本題滿分12分) 如圖,的外接圓
的半徑為
,
所在的平面,
,
,
,且
,
.
(1)求證:平面ADC平面BCDE.
(2)試問線段DE上是否存在點(diǎn)M,使得直線AM與平面ACD所成角的正弦值為?若存在,
確定點(diǎn)M的位置,若不存在,請說明理由.
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【題目】大數(shù)據(jù)時(shí)代對于現(xiàn)代人的數(shù)據(jù)分析能力要求越來越高,數(shù)據(jù)擬合是一種把現(xiàn)有數(shù)據(jù)通過數(shù)學(xué)方法來代入某條數(shù)式的表示方式,比如,
,2,
,n是平面直角坐標(biāo)系上的一系列點(diǎn),用函數(shù)
來擬合該組數(shù)據(jù),盡可能使得函數(shù)圖象與點(diǎn)列
比較接近.其中一種描述接近程度的指標(biāo)是函數(shù)的擬合誤差,擬合誤差越小越好,定義函數(shù)
的擬合誤差為:
.已知平面直角坐標(biāo)系上5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)如表:
x | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
y | 12 | 4 | 12 |
若用一次函數(shù)
來擬合上述表格中的數(shù)據(jù),求該函數(shù)的擬合誤差
的最小值,并求出此時(shí)的函數(shù)解析式
;
若用二次函數(shù)
來擬合題干表格中的數(shù)據(jù),求
;
請比較第
問中的
和第
問中的
,用哪一個(gè)函數(shù)擬合題目中給出的數(shù)據(jù)更好?
請至少寫出三條理由
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【題目】若存在實(shí)數(shù)使得
則稱
是區(qū)間
的
一內(nèi)點(diǎn).
(1)求證:的充要條件是存在
使得
是區(qū)間
的
一內(nèi)點(diǎn);
(2)若實(shí)數(shù)滿足:
求證:存在
,使得
是區(qū)間
的
一內(nèi)點(diǎn);
(3)給定實(shí)數(shù),若對于任意區(qū)間
,
是區(qū)間的
一內(nèi)點(diǎn),
是區(qū)間的
一內(nèi)點(diǎn),且不等式
和不等式
對于任意
都恒成立,求證:
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