已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且過點（4，-）（1）求雙曲線的方程.（2）若點M(3,m)在雙曲線上，求證：.（3）若點A,B在雙曲線上，點N(3,1)恰好是AB的中點，求直線AB的方程(12分)

（本小題滿分14分）
已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點在軸上. 且經(jīng)過點，
（1）求拋物線的方程；
（2）若動直線過點，交拋物線于兩點，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由.

某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱的長.

已知橢圓C的焦點F₁（－，0）和F₂（，0），長軸長6。
(1)求橢圓C的標準方程。
(2)設直線交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標。

為何值時，直線和曲線有兩個公共點？有一個公共點？
沒有公共點？

雙曲線的離心率等于2，且與橢圓有相同的焦點，求此雙曲線的標準方程．

已知橢圓的中點在原點且過點，焦點在坐標軸上，長軸長是短軸長的3倍，求該橢圓的方程．

(本題滿分13分)
已知橢圓C的兩焦點分別為，長軸長為6，
⑴求橢圓C的標準方程;
⑵已知過點（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A 、B兩點,求線段AB的長度。

（本小題滿分14分）設橢圓（）經(jīng)過點，其離心率.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
(Ⅱ) 直線交橢圓于兩點，且的面積為，求的值.

（本小題滿分13分）如圖所示，直線l與拋物線y²=x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，與x軸交于點M，且y₁y₂＝－1，

（Ⅰ）求證：點的坐標為；
（Ⅱ）求證：OA⊥OB；
（Ⅲ）求△AOB面積的最小值。