湖北省武漢市2009屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研測試
數(shù)學(xué)理科
本試卷共150分?荚囉脮r120分鐘。
一、選擇題:本大題共l0小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中。只有一項是符合題目要求的. (文科做) (理科做)
1若,則
(A) (B) (C) (D)
2.若,則
(A) (B) (C) (D)
3.已知,則向量在向量上的投影為
(A) (B) (C) (D)
4.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)問為
(A) (B) (C) (D)
5. 若在的展開式中含有常數(shù)項,則正整數(shù)取得最小值時常數(shù)項為
(A) (B) (C) (D)
6. 若實數(shù),且滿足,則的大小關(guān)系是
(A) (B) (C) (D)
7. 點從點出發(fā),按逆時針方向沿周長為的圖形運動一周,兩點連線的距離與點走過的路程的函數(shù)關(guān)系如圖,那么點所走的圖形是
8.由一組樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程為,那么下列說法不正確的是
(A)直線必經(jīng)過點
(B)直線至少經(jīng)過點中的一個點;
(C)直線的斜率為
(D) 直線和各點的偏差是該坐標(biāo)平面上所有直線與這些點的偏差中最小的直線.
9. 函數(shù)的最大值為
(A) (B) (C) (D)
10。已知一個四面體的一條邊長為,其余邊長均為,則此四面體的外接球半徑為
(A) (B) (C) (D)
二、填空題:本大題共5小題.每小題5分,共25分.把答案填在題中橫線上.
11.在等比數(shù)列中,若 .
12. 若圓被軸截得弦所對圓心角為,則實數(shù)=
13. 把五個字母排成一行,兩個字母不相鄰的排列數(shù)為 .
14. 點到點與到點的距離之差為,若在直線上,則實數(shù)的取值范圍為 .
15. 若其中,則實數(shù)的取值范圍是 .
中,那么區(qū)域中的最大圓的半徑為 .
三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
16.(本小題滿分12分)
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)求函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間.
17. (本小題滿分l2分)
如圖,在四面體中,,且,二面角大小為.
(1)求證:平面上平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
18.(本小題滿分l2分)
在兩只口袋中均有個紅球和個白球,先從袋中任取個球轉(zhuǎn)放到袋中,再從袋中任取一個球轉(zhuǎn)放到袋中,結(jié)果袋中恰有個紅球.
(1)求時的概率;(2)求隨機(jī)變量的分布列及期望.
19.(本小題滿分l3分)
已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,直線與交于兩點,,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)若是橢圓上兩點,滿足,求的最小值.
20(本小題滿分l3分)
已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系式:,且.
(1)求的取值范圍;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:;
(3)若,求證:.
21.(本小題滿分l3分)
已知函數(shù).
(1)求的導(dǎo)數(shù);
(2)求證:不等式上恒成立;
(3)求的最大值.
因此的減區(qū)間是:………………………………(12分)
17.解:(1)在四面體中,取中點分別為
,連接,則
,則
又則
中, ,
可知
又面,則
和兩相交直線及均垂直,從而面
又面經(jīng)過直線,故面面…………………………(6分)
(2)由(1)可知平面平面
過向作垂線于足,從而面
過中,,則
于是與平面所成角即
因此直線與平面所成角的正弦值為.…………………………(12分)
18.解:(1)表示經(jīng)過操作以后袋中只有一個紅球,有兩種情形出現(xiàn)
①先從中取出紅和白,再從中取一白到中
②先從中取出紅球,再從中取一紅球到中
…………………………………………(6分)
(2)同(1)中計算方法可知:
……………………………………………(12分)
19. 解:(1)設(shè)直線與橢圓交于由,知
而代入上式得到:
①
而知:
,即
不妨設(shè),則 ②
由②式代入①式求得:
或
或
若不合題意,舍去.
,則橢圓方程為
故所求橢圓方程為……………………………………………………(7分)
(2)是橢圓上的點,且
故設(shè)
于是
從而
又
從而 即
故所求的最小值為……………………………………………………(13分)
20.解:(1)且由二次函數(shù)性質(zhì)可知
由及亦可知…………………………(3分)
(2)證明:①在(1)的過程中可知時,
則
可知在時,成立
于是時,成立
②假設(shè)在時,(*)成立
在時,
其中
于是從而時得證
因此(*)式得證
綜合①②可知:時…………………………(9分)
(3)由變形為
而由可知:
在n≥3上恒成立
于是
從而
從而原不等式得證.………………………………………(13分)
21. 解:(1)………………………………………(2分)
(2)由(1)知,其中
令,對求導(dǎo)數(shù)得
= 在上恒成立.
故即在上為增函數(shù),故
進(jìn)而知在上為增函數(shù),故
當(dāng)時,顯然成立.
于是有在上恒成立.……………………………………(10分)
(3) 由(2)可知在上恒成立.
則在上恒成立.即在單增
于是……………………………………………………………(13分)
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