高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)易做易錯(cuò)題選
平面向量
一、選擇題:
1.(如中)在中,,則的值為 ( )
A 20 B C D
錯(cuò)誤分析:錯(cuò)誤認(rèn)為,從而出錯(cuò).
答案: B
略解: 由題意可知,
故=.
2.(如中)關(guān)于非零向量和,有下列四個(gè)命題:
(1)“”的充要條件是“和的方向相同”;
(2)“” 的充要條件是“和的方向相反”;
(3)“” 的充要條件是“和有相等的!;
(4)“” 的充要條件是“和的方向相同”;
其中真命題的個(gè)數(shù)是 ( )
A
1
B
錯(cuò)誤分析:對不等式的認(rèn)識(shí)不清.
答案: B.
3.(石莊中學(xué))已知O、A、B三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0),A(3,0),B(0,3),是P線段AB上且 =t (0≤t≤1)則? 的最大值為 ( )
A.3 B.
正確答案:C 錯(cuò)因:學(xué)生不能借助數(shù)形結(jié)合直觀得到當(dāng)|OP|cosa最大時(shí),? 即為最大。
4.(石莊中學(xué))若向量 =(cosa,sina) , =, 與不共線,則與一定滿足( )
A. 與的夾角等于a-b B.∥
C.(+)^(-) D. ⊥
正確答案:C 錯(cuò)因:學(xué)生不能把、的終點(diǎn)看成是上單位圓上的點(diǎn),用四邊形法則來處理問題。
5.(石莊中學(xué))已知向量 =(2cosj,2sinj),jÎ(), =(0,-1),則 與 的夾角為( )
A.-j B.+j C.j- D.j
正確答案:A 錯(cuò)因:學(xué)生忽略考慮與夾角的取值范圍在[0,p]。
6.(石莊中學(xué))O為平面上的定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn),若( -)?(+-2)=0,則DABC是( )
A.以AB為底邊的等腰三角形 B.以BC為底邊的等腰三角形
C.以AB為斜邊的直角三角形 D.以BC為斜邊的直角三角形
正確答案:B 錯(cuò)因:學(xué)生對題中給出向量關(guān)系式不能轉(zhuǎn)化:2不能拆成(+)。
7.(石莊中學(xué))已知向量M={ | =(1,2)+l(3,4) lÎR}, N={|=(-2,2)+ l(4,5) lÎR },則MÇN=( )
A {(1,2)} B C D
正確答案:C 錯(cuò)因:學(xué)生看不懂題意,對題意理解錯(cuò)誤。
8.已知,,若,則△ABC是直角三角形的概率是( C )
A. B. C. D.
分析:由及知,若垂直,則;若與垂直,則,所以△ABC是直角三角形的概率是.
9.(磨中)設(shè)a0為單位向量,(1)若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量,則a=|a|?a0;(2)若a與a0平行,則a=|a|?a0;(3)若a與a0平行且|a|=1,則a=a0。上述命題中,假命題個(gè)數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
正確答案:D。
錯(cuò)誤原因:向量的概念較多,且容易混淆,注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念。
10.(磨中)已知|a|=3,|b|=5,如果a∥b,則a?b= 。
正確答案:!15。
錯(cuò)誤原因:容易忽視平行向量的概念。a、b的夾角為0°、180°。
11.(磨中)O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足
,則P的軌跡一定通過△ABC的( )
(A)外心 (B)內(nèi)心 (C)重心 (D)垂心
正確答案:B。
錯(cuò)誤原因:對理解不夠。不清楚
與∠BAC的角平分線有關(guān)。
12.(磨中)如果,那么 ( ) A. B. C. D.在方向上的投影相等
正確答案:D。
錯(cuò)誤原因:對向量數(shù)量積的性質(zhì)理解不夠。
13.(城西中學(xué))向量=(3,4)按向量a=(1,2)平移后為 ( )
A、(4,6) B、(2,2) C、(3,4) D、(3,8)
正確答案: C
錯(cuò)因:向量平移不改變。
14.(城西中學(xué))已知向量則向量的夾角范圍是( )
A、[π/12,5π/12] B、[0,π/4] C、[π/4,5π/12] D、 [5π/12,π/2]
正確答案:A
錯(cuò)因:不注意數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用。
15.(城西中學(xué))將函數(shù)y=2x的圖象按向量 平移后得到y(tǒng)=2x+6的圖象,給出以下四個(gè)命題:① 的坐標(biāo)可以是(-3,0) ②的坐標(biāo)可以是(-3,0)和(0,6) ③的坐標(biāo)可以是(0,6) ④的坐標(biāo)可以有無數(shù)種情況,其中真命題的個(gè)數(shù)是 ( )
A、1 B、2 C、3 D、4
正確答案:D
錯(cuò)因:不注意數(shù)形結(jié)合或不懂得問題的實(shí)質(zhì)。
16.(城西中學(xué))過△ABC的重心作一直線分別交AB,AC 于D,E,若 ,(),則的值為( )
A 4 B 3 C 2 D 1
正確答案:A
錯(cuò)因:不注意運(yùn)用特殊情況快速得到答案。
17.(蒲中)設(shè)平面向量=(-2,1),=(λ,-1),若與的夾角為鈍角,則λ的取值范圍是( )
A、 B、
C、 D、
答案:A
點(diǎn)評:易誤選C,錯(cuò)因:忽視與反向的情況。
18.(蒲中)設(shè)=(x1,y1),=(x2,y2),則下列與共線的充要條件的有( )
① 存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使=λ或=λ; ② |?|=|| ||;
③ ; ④ (+)//(-)
A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)
答案:C
點(diǎn)評:①②④正確,易錯(cuò)選D。
19.(江安中學(xué))以原點(diǎn)O及點(diǎn)A(5,2)為頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB,使,則的坐標(biāo)為( )。
A、(2,-5) B、(-2,5)或(2,-5)
C、(-2,5) D、(7,-3)或(3,7)
正解:B
設(shè),則由 ①
而又由得 ②
由①②聯(lián)立得。
誤解:公式記憶不清,或未考慮到聯(lián)立方程組解。
20.(江安中學(xué))設(shè)向量,則是的( )條件。
A、充要 B、必要不充分
C、充分不必要 D、既不充分也不必要
正解:C
若則,若,有可能或為0,故選C。
誤解:,此式是否成立,未考慮,選A。
21.(江安中學(xué))在OAB中,,若=-5,則=( )
A、 B、 C、 D、
正解:D。
∵∴(LV為與的夾角)
∴∴∴
誤解:C。將面積公式記錯(cuò),誤記為
22.(丁中)在中,,,有,則的形狀是 (D)
A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、不能確定
錯(cuò)解:C
錯(cuò)因:忽視中與的夾角是的補(bǔ)角
正解:D
23.(丁中)設(shè)平面向量,若與的夾角為鈍角,則的取值范圍是 (A)
A、 B、(2,+ C、(― D、(-
錯(cuò)解:C
錯(cuò)因:忽視使用時(shí),其中包含了兩向量反向的情況
正解:A
24.(薛中)已知A(3,7),B(5,2),向量平移后所得向量是 。
A、(2,-5), B、(3,-3), C、(1,-7) D、以上都不是
答案:A
錯(cuò)解:B
錯(cuò)因:將向量平移當(dāng)作點(diǎn)平移。
25.(薛中)已知中, 。
A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、不能確定
答案:C
錯(cuò)解:A或D
錯(cuò)因:對向量夾角定義理解不清
26.(案中)正三角形ABC的邊長為1,設(shè),那么的值是 ( )
A、 B、 C、 D、
正確答案:(B)
錯(cuò)誤原因:不認(rèn)真審題,且對向量的數(shù)量積及兩個(gè)向量的夾角的定義模糊不清。
27.(案中)已知,且,則 ( )
A、相等 B、方向相同 C、方向相反 D、方向相同或相反
正確答案:(D)
錯(cuò)誤原因:受已知條件的影響,不去認(rèn)真思考可正可負(fù),易選成B。
28.(案中)已知是關(guān)于x的一元二次方程,其中是非零向量,且向量不共線,則該方程 ( )
A、至少有一根 B、至多有一根
C、有兩個(gè)不等的根 D、有無數(shù)個(gè)互不相同的根
正確答案:(B)
錯(cuò)誤原因:找不到解題思路。
29.(案中)設(shè)是任意的非零平面向量且互不共線,以下四個(gè)命題:
① ②
③ ④若不平行
其中正確命題的個(gè)數(shù)是
( )
A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)
正確答案:(B)
錯(cuò)誤原因:本題所述問題不能全部搞清。
二填空題:
1.(如中)若向量=,=,且,的夾角為鈍角,則的取值范圍是______________.
錯(cuò)誤分析:只由的夾角為鈍角得到而忽視了不是夾角為鈍角的充要條件,因?yàn)?sub>的夾角為時(shí)也有從而擴(kuò)大的范圍,導(dǎo)致錯(cuò)誤.
正確解法: ,的夾角為鈍角,
解得或 (1)
又由共線且反向可得 (2)
由(1),(2)得的范圍是
答案: .
2.(一中)有兩個(gè)向量,,今有動(dòng)點(diǎn),從開始沿著與向量相同的方向作勻速直線運(yùn)動(dòng),速度為;另一動(dòng)點(diǎn),從開始沿著與向量相同的方向作勻速直線運(yùn)動(dòng),速度為.設(shè)、在時(shí)刻秒時(shí)分別在、處,則當(dāng)時(shí), 秒.正確答案:2
(薛中)1、設(shè)平面向量若的夾角是鈍角,則的范圍是 。
答案:
錯(cuò)解:
錯(cuò)因:“”與“的夾角為鈍角”不是充要條件。
3.(薛中)是任意向量,給出:12,3方向相反,45都是單位向量,其中 是共線的充分不必要條件。
答案:134
錯(cuò)解:13
錯(cuò)因:忽略方向的任意性,從而漏選。
4.(案中)若上的投影為 。
正確答案:
錯(cuò)誤原因:投影的概念不清楚。
5.(案中)已知o為坐標(biāo)原點(diǎn),集合,且 。
正確答案:46
錯(cuò)誤原因:看不懂題意,未曾想到數(shù)形結(jié)合的思想。
三、解答題:
1.(如中)已知向量,且求
(1) 及;
(2)若的最小值是,求實(shí)數(shù)的值.
錯(cuò)誤分析:(1)求出=后,而不知進(jìn)一步化為,人為增加難度;
(2)化為關(guān)于的二次函數(shù)在的最值問題,不知對對稱軸方程討論.
答案: (1)易求, = ;
(2) ==
=
從而:當(dāng)時(shí),與題意矛盾, 不合題意;
當(dāng)時(shí), ;
當(dāng)時(shí),解得,不滿足;
綜合可得: 實(shí)數(shù)的值為.
2.(如中)在中,已知,且的一個(gè)內(nèi)角為直角,求實(shí)數(shù)的值.
錯(cuò)誤分析:是自以為是,憑直覺認(rèn)為某個(gè)角度是直角,而忽視對諸情況的討論.
答案: (1)若即
故,從而解得;
(2)若即,也就是,而故,解得;
(3)若即,也就是而,故,解得
綜合上面討論可知,或或
3.(石莊中學(xué))已知向量m=(1,1),向量與向量夾角為,且?=-1,
(1)求向量;
(2)若向量與向量=(1,0)的夾角為,向量=(cosA,2cos2),其中A、C為DABC的內(nèi)角,且A、B、C依次成等差數(shù)列,試求|+|的取值范圍。
解:(1)設(shè)=(x,y)
則由<,>=得:cos<,>== ①
由?=-1得x+y=-1 ②
聯(lián)立①②兩式得或
∴=(0,-1)或(-1,0)
(2) ∵<,>=
得?=0
若=(1,0)則?=-1¹0
故¹(-1,0) ∴=(0,-1)
∵2B=A+C,A+B+C=p
ÞB= ∴C=
+=(cosA,2cos2)
=(cosA,cosC)
∴|+|===
=
=
=
=
∵0<A<
∴0<2A<
∴-1<cos(2A+)<
∴|+|Î()
4.(石莊中學(xué))已知函數(shù)f(x)=m|x-1|(mÎR且m¹0)設(shè)向量),,,,當(dāng)qÎ(0,)時(shí),比較f()與f()的大小。
解:=2+cos2q,=2sin2q+1=2-cos2q
f()=m|1+cos2q|=2mcos2q
f()=m|1-cos2q|=2msin2q
于是有f()-f()=2m(cos2q-sin2q)=2mcos2q
∵qÎ(0,) ∴2qÎ(0, ) ∴cos2q>0
∴當(dāng)m>0時(shí),2mcos2q>0,即f()>f()
當(dāng)m<0時(shí),2mcos2q<0,即f()<f()
5.(石莊中學(xué))已知ÐA、ÐB、ÐC為DABC的內(nèi)角,且f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2
(1)當(dāng)f(A、B)取最小值時(shí),求ÐC
(2)當(dāng)A+B=時(shí),將函數(shù)f(A、B)按向量平移后得到函數(shù)f(A)=2cos2A求
解:(1) f(A、B)=(sin22A-sin2A+)+(cos22B-cos2B+)+1
=(sin2A-)2+(sin2B-)2+1
當(dāng)sin2A=,sin2B=時(shí)取得最小值,
∴A=30°或60°,2B=60°或120° C=180°-B-A=120°或90°
(2) f(A、B)=sin22A+cos22()-
=
=
=
6.(石莊中學(xué))已知向量(m為常數(shù)),且,不共線,若向量,的夾角落< , >為銳角,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
解:要滿足<>為銳角
只須>0且()
=
=
=
即 x (mx-1) >0
1°當(dāng) m > 0時(shí)
x<0 或
2°m<0時(shí)
x ( -mx+1) <0
3°m=0時(shí) 只要x<0
綜上所述:x > 0時(shí),
x = 0時(shí),
x < 0時(shí),
7.(磨中)已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a與b之間有關(guān)系|ka+b|=|a-kb|,其中k>0,
(1)用k表示a?b;
(2)求a?b的最小值,并求此時(shí)a?b的夾角的大小。
解 (1)要求用k表示a?b,而已知|ka+b|=|a-kb|,故采用兩邊平方,得
|ka+b|2=(|a-kb|)2
k2a2+b2+2ka?b=3(a2+k2b2-2ka?b)
∴8k?a?b=(3-k2)a2+(3k2-1)b2
a?b =
∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),
∴a2=1, b2=1,
∴a?b ==
(2)∵k2+1≥2k,即≥=
∴a?b的最小值為,
又∵a?b =| a|?|b |?cos,|a|=|b|=1
∴=1×1×cos。
∴=60°,此時(shí)a與b的夾角為60°。
錯(cuò)誤原因:向量運(yùn)算不夠熟練。實(shí)際上與代數(shù)運(yùn)算相同,有時(shí)可以在含有向量的式子左右兩邊平方,且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a?b或|a|2+|b|2+2a?b。
8.(一中)已知向量,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,,且,求的值.
解(Ⅰ),
.
, ,
即 . .
(Ⅱ)
,
,
.
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