………………………(12分)

15、(江蘇運(yùn)河中學(xué)2009年高三第一次質(zhì)量檢測)如圖，在四棱錐中，底面，，，是的中點(diǎn)．

（1）證明；  （2）證明平面；

（1）證明：在四棱錐中，因底面，平面，

故．，平面．

而平面，．

（Ⅱ）證明：由，，可得．

是的中點(diǎn)，．

由（1）知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面內(nèi)的射影是，，．

又，綜上得平面．

16、(安徽省潛山縣三環(huán)中學(xué)2009屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考)如圖，在邊長為的正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將△AED,△DCF分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于.

（1） 求證:；

（2） 求二面角的正切值.

（1）證明：∵,…………2分

∴,…………3分

∴,而

∴…………5分

（2）解：取的中點(diǎn)，連，,如圖

∵∴∴…………7分

又由（1）知，

∴,

∴為二面角的平面角………9分

在中，,

∴,∴…………10分

又

在中，

即二面角的正切值為.…………12分

17、(安徽省潛山縣三環(huán)中學(xué)2009屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考)如圖，在直三棱柱中，，，

為的中點(diǎn).

（1）求證： //平面；  

（2）求證：⊥平面；

（3）設(shè)是上一點(diǎn)，試確定的位置，使平面⊥
平面，并說明理由.

（1）證明：如圖，連結(jié)AB₁與A₁B相交于M。

則M為A₁B的中點(diǎn)

連結(jié)MD，則D為AC的中點(diǎn)

∴B₁C∥MD

又B₁C平面A₁BD

∴B₁C∥平面A₁BD …………4分

   （2）∵AB=B₁B

∴四邊形ABB₁A₁為正方形

∴A₁B⊥AB₁

又∵AC₁⊥面A₁BD

∴AC₁⊥A₁B∴A₁B⊥面AB₁C₁   …………6分

∴A₁B⊥B₁C₁

又在直棱柱ABC―A₁B₁C₁中BB₁⊥B₁C₁

∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁                                           …………8分

   （3）當(dāng)點(diǎn)E為C₁C的中點(diǎn)時(shí)，平面A₁BD⊥平面BDE                 …………9分

∵D、E分別為AC、C₁C的中點(diǎn)

∴DE∥AC₁     ∵AC₁⊥平面A₁BD

∴DE⊥平面A₁BD

又DE平面BDE

∴平面A₁BD⊥平面BDE   …………12分

18、(北京市東城區(qū)2009屆高三部分學(xué)校月考)如圖，已知：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F(xiàn)分別是AB與PD的中點(diǎn).

（1）求證：PC⊥BD；

（2）求證：AF//平面PEC；

（3）求二面角P―EC―D的大小.

證明：（1）連結(jié)AC，則AC⊥BD。

∵PA⊥平面ABCD，AC是斜線PC在平面ABCD上的射影，

∴由三垂線定理得PC⊥BD�！�……………4分

   （2）取PC的中點(diǎn)K，連結(jié)FK、EK，則四邊形AEKF是平行四邊形。

∴AF//EK，又EK平面PEC，AF平面PEC，∴AF//平面PEC。…………4分

   （3）延長DA、CE交于M，過A作AH⊥CM于H，

連結(jié)PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM。

∴∠PHA為所求二面角P―EC―D的平面角�！�……………10分

∵E為AB的中點(diǎn)，AE//CD，∴AM=AD=2，

在△AME中，∠MAE=120°，

由余弦定理得

………………14分

19、(廣東省廣州市2008-2009學(xué)年高三第一學(xué)期中段學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測)如圖6，在直角梯形ABCP中，AP//BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、CB的中點(diǎn)，將沿CD折起，使得平面ABCD,如圖7.

（Ⅰ）求證：AP//平面EFG；

 (Ⅱ) 求二面角的大小;

（Ⅲ）求三棱椎的體積.

解:(Ⅰ) 證明:方法一)連AC,BD交于O點(diǎn),連GO,FO,EO.

∵E,F分別為PC,PD的中點(diǎn),∴//,同理//, //    

四邊形EFOG是平行四邊形, 平面EFOG. ……3分

又在三角形PAC中,E,O分別為PC,AC的中點(diǎn),PA//EO……4分

平面EFOG,PA平面EFOG, ……5分

PA//平面EFOG,即PA//平面EFG. ……6分

方法二) 連AC,BD交于O點(diǎn),連GO,FO,EO.

∵E,F分別為PC,PD的中點(diǎn),∴//,同理//

又//AB,//

平面EFG//平面PAB, ……4分

又PA平面PAB,平面EFG. ……6分

方法三)如圖以D為原點(diǎn),以

為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系.

則有關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)為:

……2分

設(shè)平面EFG的法向量為

取.……4分

∵,……5分

又平面EFG.

 AP//平面EFG. ……6分

(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形

,又∵面ABCD

又

平面PCD,向量是平面PCD的一個(gè)法向量, =……8分

又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量為……9分

……10分

結(jié)合圖知二面角的平面角為……11分

(Ⅲ) ……14分

20、(四川省成都市高2009屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測)如圖①，在等腰梯形CDEF中，已知CD∥EF，CD＝2，EF＝6，AD、BC均為梯形的高，且AD＝BC＝.現(xiàn)沿AD、BC將△ADE和△BCF折起，使點(diǎn)E、F重合為一點(diǎn)P，如圖②所示.又點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段AD上，且MN⊥PC.

(1)求線段AM的長；

(2)求二面角P－MC－N的大小.

解：(1)由題意，AD⊥平面PAB，取CD的中點(diǎn)E，連接NE
∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)
∴AD∥EN，EN⊥平面PAB
由題意得PA＝AB＝BP＝2
∴PN⊥AB   ……2'
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系N－xyz
則A(0，－1，0)，P(，0，0)，C(0，1，)
設(shè)M(0，－1，z)，則＝(0，1，－z)，
＝(－，1，)             ……4'
由?＝1－z＝0  Þ  z＝
∴AM＝                     ……6'
(2)設(shè)平面PMC的法向量＝(x₀，y₀，z₀)，＝(0，2，)
由?＝0且?＝0
得  Þ  取  Þ  ＝(，－1，2)  ……9'
∵平面MCN的法向量＝(1，0，0)
∴cos<，>＝＝  Þ  <，>＝  ……11'
∵二面角P－MC－N為銳角，
∴二面角P－MC－N的大小為.    ……12'

21、(北京市東城區(qū)2008-2009學(xué)年度高三年級部分學(xué)校月考)如圖，已知：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F(xiàn)分別是AB與PD的中點(diǎn).

   （1）求證：PC⊥BD；

   （2）求證：AF//平面PEC；

   （3）求二面角P―EC―D的大小.

證明：（I）連結(jié)AC，則AC⊥BD。

∵PA⊥平面ABCD，AC是斜線PC在平面ABCD上的射影，

∴由三垂線定理得PC⊥BD。………………4分

   （II）取PC的中點(diǎn)K，連結(jié)FK、EK，

    則四邊形AEKF是平行四邊形。

∴AF//EK，又EK平面PEC，AF平面PEC，

∴AF//平面PEC�！�……………4分

   （III）延長DA、CE交于M，過A作AH⊥CM于H，

連結(jié)PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM。

∴∠PHA為所求二面角P―EC―D的平面角�！�……………10分

∵E為AB的中點(diǎn)，AE//CD，

∴AM=AD=2，

在△AME中，∠MAE=120°，

由余弦定理得

………………14分

22、(四川省成都市高中數(shù)學(xué)2009級九校聯(lián)考)如圖，已知長方體

直線與平面所成的角為，垂直于

，為的中點(diǎn).

（1）求異面直線與所成的角；

（2）求平面與平面所成的二面角；

（3）求點(diǎn)到平面的距離.

解：在長方體中，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系

由已知可得，

又平面，從而與平面所成的角為，又，，從而易得

（I）因?yàn)?sub>所以=

易知異面直線所成的角為。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

（II）易知平面的一個(gè)法向量設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由

即所以即平面與平面所成的二面角的大�。ㄤJ角）為  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

（III）點(diǎn)到平面的距離，即在平面的法向量上的投影的絕對值，

所以距離=所以點(diǎn)到平面的距離為。。。。4分

23、(四川省成都市高中數(shù)學(xué)2009級九校聯(lián)考)如圖直棱柱ABC-A₁B₁C₁中AB=,AC=3,BC=,D是A₁C的中點(diǎn)E是側(cè)棱BB₁上的一動點(diǎn)。

(1)當(dāng)E是BB₁的中點(diǎn)時(shí)證明：DE//平面A₁B₁C₁；

(2)求的值

(3)在棱 BB₁上是否存在點(diǎn)E,使二面角E-A₁C-C是直二面角？若存在求的值，不存在則說明理由。

證明：①取AC中點(diǎn)M連BM，DM

又

即四邊形DMBE為平行四邊形…………………3分

又面ABC,D面ABC

面ABC

②在中，….2分

③過B作,

如圖建系 設(shè)…………………2分

設(shè)面的法向量

     ………3分

面的法向量………………….1分

  二面角是直二面角，

  ………………………………3分

24、(江蘇省常州市2008-2009高三第一學(xué)期期中統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)試題)如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F為棱AD、AB的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面CB₁D₁；

（2）求證：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

（1）證明:連結(jié)BD.

在長方體中，對角線.

又 E、F為棱AD、AB的中點(diǎn)，

 .

 .

又B₁D₁平面，平面，

  EF∥平面CB₁D₁.                       6′

（2） 在長方體中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，

 AA₁⊥B₁D₁.

又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，

 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.

又 B₁D₁平面CB₁D₁，

平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．                    13′

25、(廣東省北江中學(xué)2009屆高三上學(xué)期12月月考)如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：平面BCD；

（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求點(diǎn)E到平面ACD的距離．

解:方法一：⑴．證明：連結(jié)OC

     ………… 1分

    ，． ……… 2分

    在中，由已知可得 … 3分

而，   …………………  4分

    即  …………………  5分

    ∴平面．   ……………………………  6分

⑵．解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為

BC的中點(diǎn)知，

∴　直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，…………… 8分

在中，  

是直角斜邊AC上的中線，∴ ……………9分

∴，    ……………………… 10分

∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為． …………………………  11分

⑶．解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為． ，  ………………………………………………12分

    在中，,

    ,而，．

    ∴，   ∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為  …14分

    方法二：⑴．同方法一．

    ⑵．解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

    ，    ……………   9分

    ∴ 異面直線AB與CD所成角的余弦值為．……   10分

    ⑶．解：設(shè)平面ACD的法向量為則

    ，

∴，令得是平面ACD的一個(gè)法向量．

    又 ∴點(diǎn)E到平面ACD的距離  ．…14分

26、(廣東省佛山市三水中學(xué)2009屆高三上學(xué)期期中考試)已知正方體ABCD―中，E為棱CC上的動點(diǎn)，

（1）求證：⊥；

（2）當(dāng)E恰為棱CC的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面⊥；

解析:連結(jié)AC，設(shè)，連結(jié)

（1）,

∴,

又,

∴,

．

∴⊥．-----------------------------------------------7分

（2）在等邊三角形中，，而，平面, 平面, ，∴⊥平面．于是.

在正方體ABCD―中，設(shè)棱長為，

∵E為棱CC的中點(diǎn)，由平面幾何知識，得，

滿足，∴．

平面⊥平面．------------------------------------14分

27、(廣東省恩城中學(xué)2009屆高三上學(xué)期模擬考試)如圖, 在矩形中, ,

分別為線段的中點(diǎn), ⊥平面.

(1) 求證: ∥平面；

(2) 求證:平面⊥平面；

(3) 若, 求三棱錐的

體積.

證明: ⑴ 在矩形ABCD中,

∵AP＝PB, DQ＝QC,

∴APCQ.

∴AQCP為平行四邊形.-------------2分

∴CP∥AQ. 

∵CP平面CEP,

AQ平面CEP,

∴AQ∥平面CEP.  ----------------4分

⑵ ∵EP⊥平面ABCD,

AQ平面ABCD,

∴AQ⊥EP.  ----------------------6分

∵AB＝2BC, P為AB中點(diǎn), ∴AP＝AD. 連PQ, ADQP為正方形.

∴AQ⊥DP.-----------------------------------------8分

又EP∩DP＝P,  ∴AQ⊥平面DEP. 

∵AQ平面AEQ. ∴平面AEQ⊥平面DEP. ----------------------10分

⑶解：∵⊥平面

        ∴EP為三棱錐的高

        所以 

   ----------------------------------------------14分

28、(廣東省高明一中2009屆高三上學(xué)期第四次月考)如圖，已知平面，平面，△為等邊三角形，，為的中點(diǎn).

(1) 求證：平面；

(2) 求證：平面平面；

(3) 求直線和平面所成角的正弦值.

方法一：(1) 證：取的中點(diǎn)，連.

∵為的中點(diǎn)，∴且. …………1分

∵平面，平面，

∴，∴.               …………2分

又，∴.            …………3分

∴四邊形為平行四邊形，則.  …………4分

    ∵平面，平面，

∴平面.                       …………5分

(2) 證：∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴  …………6分

∵平面，平面，∴.    …………7分

又，故平面.                …………8分

∵，∴平面.                    …………9分

∵平面，

∴平面平面.        　　　　　　　  …………10分

(3) 解：在平面內(nèi)，過作于，連.

  ∵平面平面， ∴平面.

∴為和平面所成的角.            …………12分

設(shè)，則，

，

R t△中，.

∴直線和平面所成角的正弦值為　　　………14分

方法二：設(shè)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則

.……2分

∵為的中點(diǎn)，∴.        …………3分

 (1) 證：，       …………4分

∵，平面，∴平面.     …………5分

 (2) 證：∵，   …………6分

∴，∴.             …………8分

∴平面，又平面，

∴平面平面.                                    …………10分

 (3) 解：設(shè)平面的法向量為，由可得：

     ，取.          …………12分

     又，設(shè)和平面所成的角為，則

    .

∴直線和平面所成角的正弦值為.        …………14分

29、(2009年廣東省廣州市高三年級調(diào)研測試)如圖5，已知等腰直角三角形，其中∠=90º，．

點(diǎn)A、D分別是、的中點(diǎn)，現(xiàn)將△沿著邊折起到△位置，

使⊥，連結(jié)、．

（1）求證：⊥；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

解：（1）∵點(diǎn)A、D分別是、的中點(diǎn)，

∴.                …… 2分

∴∠=90º.

∴.

∴ ,                                                   

∵,

∴⊥平面.                                               …… 4分

∵平面,

∴.                                                    …… 6分

（2）法1：取的中點(diǎn)，連結(jié)、．

∵,

∴.                                     

∵,

∴平面.

∵平面,

∴.                    …… 8分  

∵

∴平面.

∵平面,

∴.

∴∠是二面角的平面角.                              ……10分

在Rt△中, ，

在Rt△中, ，

.                                       ……12分

∴ 二面角的平面角的余弦值是.                         ……14分

法2：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.

∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,       ……8分

設(shè)平面的法向量為=（x，y，z），則：

，                      ……10分

令，得，

∴=（1，1，－1）.

顯然，是平面的一個(gè)法向量，=（）．               ……12分

∴cos<，>=． 

∴二面角的平面角的余弦值是.                         ……14分

30、(廣西桂林十八中06級高三第二次月考)如圖，在直三棱柱中，平面側(cè)面

  （1）求證：

  （2）若，直線與平面所成的角為，

二面角的大小為，求的值.

解：(1)證明：如右圖，過點(diǎn)A在平面A₁ABB₁內(nèi)作AD⊥A₁B于D，……………….2分

則由平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁,且平面A₁BC∩側(cè)面A₁ABB₁＝A₁B，

得AD⊥平面

A₁BC.又BC平面A₁BC

所以AD⊥BC……………………………………………...4分

因?yàn)槿�棱�?i>ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱,

則AA₁⊥底面ABC,所以AA₁⊥BC.

又AA₁∩AD=A,從而BC⊥側(cè)面A₁ABB₁,

又AB側(cè)面A₁ABB₁，

故AB⊥BC.   ……………………………………………….6分

 (2)連接CD,則由(Ⅰ)知∠ACD就是直線AC與平面A₁BC所成的角，∠ABA₁就是二面角A₁－BC－A的平面角，即∠ACD＝θ，∠ABA₁=………………..8分

      于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA₁中，sin∠AA₁D＝,………………10分

      ∴sinθ=sin∠AA₁D,由于θ與∠AA₁D都是銳角，所以θ＝∠AA₁D.

      又由RtΔA₁AB知，∠AA₁D＋＝∠AA₁B＋＝，故θ＋＝………12分

31、(河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008-2009學(xué)年高三第一次月考)如圖，四棱錐P―ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD．

（1）證明：側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC；

（2）求側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角；

（3）求直線AB與平面PCD的距離．

（1）證明：在矩形ABCD中，BC⊥AB

又∵面PAB⊥底面ABCD側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB，∴BC⊥側(cè)面PAB…（2分）

又∵BC側(cè)面PBC，∴側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC………………… （4分）

（2）解：取AB中點(diǎn)E，連結(jié)PE、CE

又∵△PAB是等邊三角形，∴PE⊥AB

又∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD

∴∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角………………………………………（6分）

在Rt△PEC中，∠PCE=45°為所求…………………………………………（8分）

（3）解：在矩形ABCD中，AB//CD

∵CD側(cè)面PCD，AB側(cè)面PCD，∴AB//側(cè)面PCD

取CD中點(diǎn)F，連EF、PF，則EF⊥AB

又∵PE⊥AB，∴AB⊥平面PEF

又∵AB//CD，∴CD⊥平面PEF，∴平面PCD⊥平面PEF…………………（10分）

作EG⊥PF，垂足為G，則EC⊥平面PCD

在Rt△PEF中，EG=為所求……………………………… （12分）

32、(廣東省湛江師范學(xué)院附中2009年高考模擬試題)如圖，某建筑物的基本單元可近似地按以下方法構(gòu)作：先在地平面內(nèi)作菱形ABCD，邊長為1，∠BAD＝60°,再在的上方，分別以△與△為底面安裝上相同的正棱錐P－ABD與Q－CBD，∠APB＝90°．

（Ⅰ）求證：PQ⊥BD；

（Ⅱ）求二面角P-BD-Q的余弦值；

（Ⅲ）求點(diǎn)P到平面QBD的距離.

解：（Ⅰ）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱錐，可知△PBD與△QBD是全等等腰三角形  …１分

取BD中點(diǎn)E，連結(jié)PE、QE，則BD⊥PE，BD⊥QE．故BD⊥平面PQE，從而BD⊥PQ．  ………4分

（Ⅱ）由（1）知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角                     ……………………５分

作PM⊥平面，垂足為M，作QN⊥平面，垂足為N，則PM∥QN，M、N分別是正△ABD與正△BCD的中心，從而點(diǎn)A、M、E、N、C共線，PM與QN確定平面PACQ，且PMNQ為矩形．  …………6分

可得ME=NE=，PE=QE=，PQ=MN=…7分∴cos∠PEQ＝   ………9分

（Ⅲ）由（1）知BD⊥平面PEQ．設(shè)點(diǎn)P到平面QBD的距離為h，則

  ∴．

∴　．　　∴　．                              …………………………14分

33、(廣東省湛江市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2009屆高三第四次月考)已知四棱錐（如圖）底面是邊長為2的正方形.側(cè)棱底面，、分別為