30、(天津市漢沽一中2008~2008學(xué)年度第五次月考)設(shè)A，B分別是直線和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且，動(dòng)點(diǎn)P滿足．記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C．

（I） 求軌跡C的方程；

（II）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，16），M、N是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

解：（I）設(shè)P（x，y），因?yàn)锳、B分別為直線和上的點(diǎn)，故可設(shè)

　　　，．

　　　∵，

　　　∴∴………………………4分

　　　又，

　　　∴．……………………………………5分

　　　∴．

　　即曲線C的方程為．………………………………………6分

（II） 設(shè)N（s，t），M（x，y），則由，可得（x，y－16）= (s，t－16)．

     故，．……………………………………8分

     ∵M(jìn)、N在曲線C上，

     ∴……………………………………9分

     消去s得  ．

由題意知，且，

     解得   ．………………………………………………………11分

又   ， ∴．

     解得  （）．

   故實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．………………………………13分

31、(湖北省武漢市第四十九中學(xué)2009屆高三年級(jí)十月月考)已知A、B分別是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P）在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)C是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于△ABC，求的值。

解：（1）∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn) ∴是△的中位線

又∴               ………2分

∴ ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1…6分

（2）∵點(diǎn)C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2      －在△ABC中，由正弦定理，    ……10分

∴＝                ………12分

32、(四川省成都七中2009屆高三零診模擬考試)已知拋物線y=x²上的兩點(diǎn)A、B滿足=l,l＞0,其中點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,1),=＋,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

                       (I)         求四邊形OAMB的面積的最小值;

                   (II)         求點(diǎn)M的軌跡方程.

解:(Ⅰ)由=l知A、P、B三點(diǎn)在同一條直線上,設(shè)該直線方程為y=kx＋1,A(x₁,x₁²),B(x₂,x₂²).

由得x²－kx－1=0,\x₁＋x₂=k,x₁x₂=－1,\?=x₁x₂＋x₁²x₂²=－1＋(－1)²=0,\^.

又OAMB是平行四邊形,\四邊形OAMB是矩形,

\S=||?||=?=－x₁x₂

===.

\當(dāng)k=0時(shí),S取得最小值是2.                       6分

(Ⅱ)設(shè)M(x,y),\,消去x₁和x₂得x²=y－2,\點(diǎn)M的軌跡是y=x²＋2      6分

33、(四川省成都市2008―2009學(xué)年度上學(xué)期高三年級(jí)期末綜合測(cè)試)已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，－1），焦點(diǎn)在x軸上.若右焦點(diǎn)到直線 的距離為3.

（1）求橢圓的方程;

（2）設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)M、N.當(dāng)時(shí)，求m的取值范圍.

解（1）依題意可設(shè)橢圓方程為  ，則右焦點(diǎn)F（）由題設(shè)

   解得   故所求橢圓的方程為

（2）設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，由  得

由于直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即       ①

   從而

    又，則

    即      ②

把②代入①得  解得       由②得   解得

  .故所求m的取范圍是（）

34、(四川省瀘縣六中高09級(jí)二診模擬數(shù)學(xué)試題)已知拋物線y=x²上的兩點(diǎn)A、B滿足=l,l＞0,其中點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,1),=＋,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求四邊形OAMB的面積的最小值;

(2)求點(diǎn)M的軌跡方程.

解:(Ⅰ)由=l知A、P、B三點(diǎn)在同一條直線上,設(shè)該直線方程為y=kx＋1,A(x₁,x₁²),B(x₂,x₂²).

由

得x²－kx－1=0,\x₁＋x₂=k,x₁x₂=－1,\?=x₁x₂＋x₁²x₂²=－1＋(－1)²=0,\^.

又OAMB是平行四邊形,\四邊形OAMB是矩形,

\S=||?||=?=－x₁x₂

===.

\當(dāng)k=0時(shí),S取得最小值是2.                       6分

(Ⅱ)設(shè)M(x,y),\,消去x₁和x₂得x²=y－2,\點(diǎn)M的軌跡是y=x²＋2      12分

35、(安徽省巢湖市2009屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知，動(dòng)點(diǎn)滿足.

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程；

（Ⅲ）設(shè)為曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，曲線在處的切線與軸分別交于點(diǎn)，求面積的最小值.

解：（Ⅰ）動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為   ；   ………………………………3分

（Ⅱ）解法1  當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，,，不合題意；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)過的直線：，代入曲線的方程得

設(shè)，則

，        解得

故所求的直線的方程為；…………………………………9分

解法2  當(dāng)直線為軸時(shí)， ， 不合題意；

當(dāng)直線不為軸時(shí)，設(shè)過的直線：，代入曲線的方程得

設(shè)，則

  =     解得

故所求的直線的方程為；…………………………………9分

（Ⅲ）設(shè)由得

處曲線的切線方程為 

令得 ；   令得 .

由  ，  

  得.

故面積的最小值為2.…………………………………………14分

36、(蒼山誠信中學(xué)?理科)如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，

點(diǎn)N在CM上，且滿足的軌跡為曲線E.

    （I）求曲線E的方程；

    （II）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），

         且滿足，求的取值范圍.

(解)（1）

∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|=|NM|.…………………………2分

又

∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（－1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓.

且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距2c=2.   ……………5分

∴曲線E的方程為………………6分

（2）當(dāng)直線GH斜率存在時(shí)，

設(shè)直線GH方程為

得

設(shè)……………………8分

，

……………………10分

又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為

……………………………………12分

37、(蒼山縣?理科)已知定點(diǎn)A（－2，0），動(dòng)點(diǎn)B是圓（F為圓心）上一點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P.

   （1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

   （2）是否存在過點(diǎn)E（0，－4）的直線l交P點(diǎn)的軌跡于點(diǎn)R，T，且滿足 （O為原點(diǎn)），若存在，求直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.

(解)22解：（1）由題意：∵|PA|=|PB|且|PB|＋|PF|=r=8

∴|PA|＋|PF|=8＞|AF|

∴P點(diǎn)軌跡為以A、F為焦點(diǎn)的橢圓…………………………3分

設(shè)方程為

………………………5分

（2）假設(shè)存在滿足題意的直線l，其斜率存在，設(shè)為k，設(shè)

38、(濟(jì)寧?理科)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，A是橢圓C上的一點(diǎn)，且，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過Q的直線l交x軸于點(diǎn)，較y軸于點(diǎn)M，若，求直線l的方程．

(解)（1）由題設(shè)知

由于，則有，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

故所在直線方程為， ………………………………3分

所以坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為，

又，所以，解得，

所求橢圓的方程為．……………………………………………5分

（2）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，則有，

設(shè)，由于，

∴，解得     …………………8分

又Q在橢圓C上，得，

解得， …………………………………………………………………………10分

故直線l的方程為或，

即或．   ……………………………………………12分

39、(臨沂一中?理科)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，過其上一點(diǎn)的切線方程為為常數(shù)）.

   （I）求拋物線方程；

   （II）斜率為的直線PA與拋物線的另一交點(diǎn)為A，斜率為的直線PB與拋物線的另一交點(diǎn)為B（A、B兩點(diǎn)不同），且滿足，求證線段PM的中點(diǎn)在y軸上；

   （III）在（II）的條件下，當(dāng)時(shí)，若P的坐標(biāo)為（1，－1），求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍.

(解)（I）由題意可設(shè)拋物線的方程為,

    ∵過點(diǎn)的切線方程為,

    ……………………………………………………………2分

    ∴拋物線的方程為…………………………………………………3分

   （II）直線PA的方程為,

      同理,可得. …………………………………………………………5分

      …………………………6分

      又

    ∴線段PM的中點(diǎn)在y軸上.………………………………………………………7分

   （III）由

    ………………………………………8分

    ∵∠PAB為鈍角，且P, A, B不共線,

     即

    …………………………………………………………10分

    又∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)      ∴當(dāng)時(shí)，；

    當(dāng)

    ∴∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)的取值范圍為……………12分

40、(臨沂高新區(qū)?理科)如圖，已知橢圓C：，經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F且斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓G于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點(diǎn)．

    （1）是否存在k，使對(duì)任意m＞0，總有成立？若存在，求出所有k的值；

    （2）若，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

(解)（1）橢圓C：   1分

直線AB：y＝k（x－m）,                                           2分

，（10k²＋6）x²－20k²mx＋10k²m²－15m²＝0．  3分

設(shè)A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）,則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝    4分

則x_m＝              5分

若存在k,使為ON的中點(diǎn)，∴．

∴，

即N點(diǎn)坐標(biāo)為．                             6分

由N點(diǎn)在橢圓上，則       7分

即5k⁴－2k²－3＝0．∴k²＝1或k²＝－（舍）．

故存在k＝±1使                                  8分

（2）＝x₁x₂＋k²（x₁－m）（x₂－m）

＝（1＋k²）x₁x₂－k²m（x₁＋x₂）＋k₂m²

＝（1＋k²）?        10分

由得       12分

即k²－15≤－20k²－12,k2≤且k≠0．                14分

41、(煙臺(tái)?理科)已知?jiǎng)狱c(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，且滿足|AB|=2，點(diǎn)P在線段AB上，且

    設(shè)點(diǎn)P的軌跡方程為c。

   （1）求點(diǎn)P的軌跡方程C；

   （2）若t=2，點(diǎn)M、N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M、N不在坐標(biāo)軸上），點(diǎn)Q

坐標(biāo)為求△QMN的面積S的最大值。

(解)（1）設(shè)

   （2）t=2時(shí)， …………5分

42、(棗莊市?理科)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)M（1，―3）、N（5，1），若動(dòng)點(diǎn)C滿足交于A、B兩點(diǎn)。

   （I）求證：；

   （II）在x軸上是否存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)P的直線l交拋物線于D、E兩點(diǎn)，并以線段DE為直徑的圓都過原點(diǎn)。若存在，請(qǐng)求出m的值及圓心M的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。

(解)（I）解：由

知點(diǎn)C的軌跡是過M，N兩點(diǎn)的直線，故點(diǎn)C的軌跡方程是：

   （II）解：假設(shè)存在于D、E兩點(diǎn)，并以線段DE為直徑的圓都過原點(diǎn)。設(shè)

    由題意，直線l的斜率不為零，

    所以，可設(shè)直線l的方程為

    代入 …………7分

    此時(shí)，以DE為直徑的圓都過原點(diǎn)。 …………10分

    設(shè)弦DE的中點(diǎn)為

43、(聊城一中?理科)已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，1），焦點(diǎn)在x軸上．若右焦點(diǎn)到直線 的距離為3．

（3）求橢圓的方程，

（4）設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)M、N．當(dāng)時(shí)，求m的取值范圍．

(解)（1）依題意可設(shè)橢圓方程為  ，則右焦點(diǎn)F（）由題設(shè)

   解得   故所求橢圓的方程為

（2）設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，由  得

由于直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即       ①

   從而

    又，則

    即      ②

把②代入①得  解得       由②得   解得

．

故所求m的取范圍是（）．

44、(江蘇省梁寨中學(xué)08－09學(xué)年高三年級(jí)調(diào)研考試)已知菱形的頂點(diǎn)在橢圓上，對(duì)角線所在直線的斜率為1．

（Ⅰ）當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求菱形面積的最大值．

解：（Ⅰ）由題意得直線的方程為．

因?yàn)樗倪呅?sub>為菱形，所以．

于是可設(shè)直線的方程為．

由得．

因?yàn)?sub>在橢圓上，

所以，解得．

設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

則，，，．

所以．

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

由四邊形為菱形可知，點(diǎn)在直線上，

所以，解得．

所以直線的方程為，即．

（Ⅱ）因?yàn)樗倪呅?sub>為菱形，且，

所以．

所以菱形的面積．

由（Ⅰ）可得，

所以．

45、(廣東省汕頭市潮南區(qū)08－09學(xué)年度第一學(xué)期期末高三級(jí)質(zhì)檢)橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為2，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c,0）（c>0）的準(zhǔn)線（準(zhǔn)線方程x＝,其中a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距）與x軸交于點(diǎn)A，，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于點(diǎn)P、Q。

（1）       求橢圓方程；

（2）       求橢圓的離心率；

（3）       若，求直線PQ的方程。

解：（1）由已知得，解得：……………………2分

所求橢圓方程為………………………………………………4分

（2）因，得……………………………………7分

（3）因點(diǎn)即A（3，0），設(shè)直線PQ方程為………………8分

則由方程組，消去y得：

設(shè)點(diǎn)則……………………10分

因，得，

又，代入上式得

，故

解得：，所求直線PQ方程為……………………14分

46、(重慶奉節(jié)長(zhǎng)龍中學(xué)2009年高考數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)卷二)P是以為焦點(diǎn)的雙曲線C：（a＞0，b＞0）上的一點(diǎn)，已知=0，．

（1）試求雙曲線的離心率；

（2）過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線兩漸近線相交于P₁、P₂兩點(diǎn)，當(dāng)，= 0，求雙曲線的方程．

解（1）∵，，∴，． 

    ∵=0，∴(4a)²+(2a)²=(2c)²，∴．……………………4分

  （2）由（1）知，雙曲線的方程可設(shè)為，漸近線方程為．…5分

    設(shè)P₁(x₁，2x₁)，P₂(x₂，-2x₂)，P(x，y)．

    ∵，∴． ∵，∴………8分

    ∵點(diǎn)P在雙曲線上，∴．

    化簡(jiǎn)得，．∴．∴ ．∴雙曲線的方程為…12分

評(píng)析：本題考查向量與雙曲線的有關(guān)內(nèi)容．近幾年來向量與其他知識(shí)互相滲透成為一種時(shí)尚，基于此特命此題．本題考查學(xué)生運(yùn)用圓錐曲線定義靈活解題的能力、向量知識(shí)、運(yùn)算能力．

47、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績(jī)題型訓(xùn)練)已知常數(shù)m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，經(jīng)過點(diǎn)A(m, 0)，以λa+b為方向向量的直線與經(jīng)過點(diǎn)B(- m, 0)，以λb- 4a為方向向量的直線交于點(diǎn)P，其中λ∈R．

(1) 求點(diǎn)P的軌跡E；　

(2) 若，F(xiàn)(4, 0)，問是否存在實(shí)數(shù)k使得以Q(k, 0)為圓心，|QF|為半徑的圓與軌跡E交于M、N兩點(diǎn)，并且|MF| + |NF| =．若存在求出k的值；若不存在，試說明理由．

解　(1) ∵λa+b = ( m,λ)，∴ 直線AP方程為；…………………………①

又λb - 4a =(λm, - 4), ∴ 直線NP方程為；…………………………②

由①、②消去λ得 ，即 ．

故當(dāng)m = 2時(shí)，軌跡E是以(0, 0)為圓心，以2為半徑的圓：x² + y² = 4；

當(dāng)m > 2時(shí)，軌跡E是以原點(diǎn)為中心，以為焦點(diǎn)的橢圓：

當(dāng)0 < m <2時(shí)，軌跡E是以中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的橢圓．

(2)　假設(shè)存在實(shí)數(shù)k滿足要求，此時(shí)有圓Q：(x- k)² + y² = (4- k)² ;

橢圓E：；其右焦點(diǎn)為F(4 , 0 )，且．

由圓Q與橢圓E的方程聯(lián)立得2y²- 5kx + 20k- 30 = 0,

設(shè)M(x₁, y₁), N(x₂, y₂),  則有， ………………………………………………③

△=25k²- 4×2(20k- 30)，

又 |MF| =, |NF| =, 而；

∴ +,

由此可得　，……………………………………………………………………④

由③、④得k = 1，且此時(shí)△＞0．故存在實(shí)數(shù)k = 1滿足要求．

48、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績(jī)題型訓(xùn)練)雙曲線的實(shí)半軸與虛半軸長(zhǎng)的積為，它的兩焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，直線過F₂且與直線F₁F₂的夾角為，且，與線段F₁F₂的垂直平分線的交點(diǎn)為P，線段PF₂與雙曲線的交點(diǎn)為Q，且，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求雙曲線的方程.

解  以F₁F₂的中點(diǎn)為原點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，則所求雙曲線方程為（a>0，b>0），設(shè)F₂（c，0），不妨設(shè)的方程為，它與y軸交點(diǎn)，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)Q在雙曲線上可得，又，

∴，，∴雙曲線方程為.

49、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績(jī)題型訓(xùn)練)在直角坐標(biāo)平面上，O為原點(diǎn)，M為動(dòng)點(diǎn)，. 過點(diǎn)M作MM₁⊥y軸于M₁，過N作NN₁⊥x軸于點(diǎn)N₁，. 記點(diǎn)T的軌跡為曲線C，點(diǎn)A（5，0）、B（1，0），過點(diǎn)A作直線l交曲線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)P、Q（點(diǎn)Q在A與P之間）.

   （1）求曲線C的方程；

   （2）證明不存在直線l，使得|BP|=|BQ|；

   （3）過點(diǎn)P作y軸的平行線與曲線C的另一交點(diǎn)為S，若，證明

（1）設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則M₁的坐標(biāo)為（0，），

   ，于是點(diǎn)N的坐標(biāo)為，N₁的坐標(biāo)

   為，所以

   由

   由此得

   由

   即所求的方程表示的曲線C是橢圓. ……………………3分

   （2）點(diǎn)A（5，0）在曲線C即橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓C

   無交點(diǎn)，所以直線l斜率存在，并設(shè)為k. 直線l的方程為

   由方程組

   依題意

   當(dāng)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)PQ的中點(diǎn)為，

   則

   又

   而不可能成立，所以不存在直線l，使得|BP|=|BQ|.…………7分

   （3）由題意有，則有方程組

     由（1）得  （5）

   將（2），（5）代入（3）有

   整理并將（4）代入得，

   易知

   因?yàn)锽（1，0），S，故，所以

50、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績(jī)題型訓(xùn)練)已知離心率為的雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)F₁、F₂在軸上，雙曲線C的右支上一點(diǎn)A使且的面積為1。