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1、(江西省崇仁一中2009屆高三第四次月考)若函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函數(shù)，且f(x)_極小值＝f(－)＝－．

（1）求函數(shù)f(x)的解析式；

（2）求函數(shù)f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；

（3）設(shè)函數(shù)g(x)＝，若不等式g(x)?g(2k－x)≥(－k)²在(0，2k)上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

解：（1）函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函數(shù)，則b＝d＝0，

　　　∴f ^/(x)＝3ax²＋c，則

　故f(x)＝－x³＋x；………………………………4分

　　�。�2）∵f ^/(x)＝－3x²＋1＝－3(x＋)(x－)　

∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函數(shù)，在[－，]上是減函數(shù)，

由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，　如圖所示，

　當(dāng)－1＜m＜0時，f(x)_max＝f(－1)＝0；

當(dāng)0≤m＜時，f(x)_max＝f(m)＝－m³＋m，

當(dāng)m≥時，f(x)_max＝f()＝．故f(x)_max＝．…………9分

（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，則x、y∈R^＋，且2k＝x＋y≥2，又令t＝xy，

則0＜t≤k²，故函數(shù)F(x)＝g(x)?g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－

�。剑玿y－＝＋t＋2，t∈(0，k²]

當(dāng)1－4k²≤0時，F(xiàn)(x)無最小值，不合

當(dāng)1－4k²＞0時，F(xiàn)(x)在(0，]上遞減，在[，＋∞)上遞增，且F(k²)＝(－k)²，

∴要F(k²)≥(－k)²恒成立，必須，

故實數(shù)k的取值范圍是(0，)]．………………14分

2、(揭陽市云路中學(xué)2009屆高三數(shù)學(xué)第六次測試)某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房。經(jīng)測算，如果將樓房建為x（x10）層，則每平方米的平均建筑費用為560+48x（單位：元）。為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？

（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=）

解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費為元，依題意得

則，令，即，解得

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

因此，當(dāng)時，取得最小值，元.

答：為了使樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應(yīng)建為15層。

3、(揭陽市云路中學(xué)2009屆高三數(shù)學(xué)第六次測試)設(shè)定義在R上的函數(shù)f (x)＝a₀x⁴+a₁x³+a₂x²＋a₃x (a _i∈R，i＝0，1，2，3 )，當(dāng)時，f (x)取得極大值，并且函數(shù)y＝f¢ (x)的圖象關(guān)于y軸對稱。

（1）求f (x)的表達(dá)式；

（2）試在函數(shù)f (x)的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標(biāo)都在區(qū)間[－1，1]上；（3）求證：|f (sin x)－f (cos x) | ≤ (x∈R)．

解：∵f¢ (x)＝4a₀x³＋3a₁x²＋2a₂x+a₃為偶函數(shù)，∴ f ¢(-x) = f ¢(x),

∴ -4a₀x³ +3a₁x² -2a₂x + a₃ = 4a₀x³+3a₁x² +2a₂x + a₃,

∴ 4a₀x³ + 2a₂x =0對一切x Î R恒成立，

∴ a₀＝a₂＝0，∴f (x)＝a₁x³＋a₃x

又當(dāng)x＝－時，f (x)取得極大值

∴ 解得∴f (x)＝x³－x，f¢ (x)＝2x²－1 4分

⑵解：設(shè)所求兩點的橫坐標(biāo)為x₁、x₂ (x₁ < x₂)，則(2x₁²－1)(2x₂²－1)＝－1

又∵x₁，x₂∈[－1，1]，∴2x₁²－1∈[－1，1]，2x₂²－1∈[－1，1]

∴2x₁²－1，2x₂²－1中有一個為1，一個為－1，

∴或，∴所求的兩點為(0，0)與(1，－)或(0，0)與(－1，)。

⑶證明：易知sin x∈[－1，1]，cos x∈[－1，1]。

當(dāng)0< x < 時，f ¢ (x) < 0；當(dāng) < x < 1時，f ¢ (x)>0。

∴f (x)在[0，]為減函數(shù)，在[，1]上為增函數(shù)，

又f (0)＝0，f ()＝－，f (1)＝－，而f (x)在[－1，1]上為奇函數(shù)，

∴f (x)在[－1，1]上最大值為，最小值為－，即 | f (x) | ≤ ,

∴| f (sin x) | ≤ ，| f (cos x)| ≤ ， ∴| f (sin x)－f (cos x)| ≤ | f (sin x)|＋| f (cos x) | ≤

4、(遼寧省大連市第二十四中學(xué)2009屆高三高考模擬)已知

（1）當(dāng)a=1時，試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并證明此時方程=0只有一個實數(shù)根，并求出此實數(shù)根；

（2）證明：

解：（1）當(dāng)a=1時，

則，所以單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），令，所以單調(diào)減區(qū)間為（－1，0）.2分

又…4分

（2）

令

（i）當(dāng)2－a=0即a=2時，無極值，舍去.

（ii）當(dāng)2－a>0即a<2時，的變化情況如下表（一）：

x

（－∞，0）

0

（0，2－a）

2－a

（2－a，+∞）

－

0

+

0

－

極小值

極大值

由題意應(yīng)有滿足題意………………………………8分

(3)略

5、(山東省平邑第一中學(xué)2009屆高三元旦競賽試題)設(shè)函數(shù)

(Ⅰ) 證明: 當(dāng)0< a < b ,且時,ab >1;

(Ⅱ) 點P (x₀, y₀ ) (0< x₀ <1 )在曲線y＝f(x)上,求曲線在點P處的切線與x軸和y軸的正向所圍成的三角形面積表達(dá)式(用x₀表達(dá)).

證明：（I）

故f(x)在（0，1]上是減函數(shù)，而在（1，+∞）上是增函數(shù)，由0<a<b且f(a)=f(b)得0<a<1<b和

故

（II）0<x<1時，

曲線y=f(x)在點P（x₀，y₀）處的切線方程為：

∴切線與x軸、y軸正向的交點為

故所求三角形面積表達(dá)式為：

6、(山東省德州市寧津高中2008-2009學(xué)年高三第一次月考)已知函數(shù)

（1）若有極值，求b的取值范圍；

（2）若在處取得極值時，當(dāng)恒成立，求c的取值范圍；

(3)若在處取得極值時，證明：對[－1，2]內(nèi)的任意兩個值都有．

解：（1），（1分）

令，（2分）

由得1-12b>0即（4分）

（2）∴3-1+b=0，得b=-2，（5分）

令，得，，（6分）可以計算得到，（7分）

所以，得到或（8分）

（3）可以計算得到，，（10分）

∴對[－1，2]內(nèi)的任意兩個值都有（12分）

7、(山東省德州市寧津高中2008-2009學(xué)年高三第一次月考)函數(shù)的定義域為（0，1]（為實數(shù)）．

（1）當(dāng)a＝－1時，求函數(shù)y＝f(x)的值域；

（2）若函數(shù)y＝f(x)在定義域上是減函數(shù)，求的取值范圍；

（3）求函數(shù)y＝f(x)在x∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函數(shù)取最值時的值．

解：（1），∵（0，1]

∴當(dāng)且僅當(dāng)，，

所以函數(shù)的值域為；（4分）

（2）因為函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，

所以對（0，1]恒成立，

即，（0，1]，所以，所以，

故的取值范圍是；（8分）

（3）當(dāng)時，函數(shù)在（0，1]上單調(diào)增，無最小值，

當(dāng)時取得最大值；

由（2）得當(dāng)時，函數(shù)在（0，1]上單調(diào)減，無最大值，

當(dāng)＝1時取得最小值2－a；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，無最大值，

當(dāng) 時取得最小值．（14分）

8、(山東省臨沂高新區(qū)實驗中學(xué)2008-2009學(xué)年高三12月月考)已知函數(shù)，有極值，曲線處的切線不過第四象限且斜率為3。

（1）求，，的值；

（2）求在[－4，1]上的最大值和最小值。

解：（1） …………1分

由題意，得 …………4分

設(shè)切線的方程為

由原點到切線的距離為，則，解得

∵切線不過第四象限，∴，∴切線的方程為

由于切點的橫坐標(biāo)為1，∴切點坐標(biāo)為（1，4），∴，∴

∴…………6分

（2）由（1）知，

…………6分

列表如下：

－4

（-4，-2）

－2

1

+

0

－

0

+

極大值

極小值

函數(shù)值

－11

13

4

在[－4，1]上的最大值為13，最小值為－11。 …………12分

9、(天津市漢沽一中2008~2009學(xué)年度高三第四次月考試題)已知，，直線與函數(shù)、的圖象都相切，且與函數(shù)的圖象的切點的橫坐標(biāo)為.

(Ⅰ)求直線的方程及的值；

(Ⅱ)若(其中是的導(dǎo)函數(shù))，求函數(shù)的最大值；

(Ⅲ)當(dāng)時，求證：.

解：(Ⅰ)，

.

∴直線的斜率為，且與函數(shù)的圖象的切點坐標(biāo)為.

∴直線的方程為. …………………… 2分

又∵直線與函數(shù)的圖象相切,

∴方程組有一解.

由上述方程消去，并整理得

①

依題意，方程①有兩個相等的實數(shù)根，

解之，得

或

. …………………… 5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，

. …………………… 6分

. …………………… 7分

∴當(dāng)時，，

當(dāng)時，.

∴當(dāng)時，取最大值，其最大值為2. …………………… 10分

(Ⅲ) . ……… 12分

，

.

由(Ⅱ)知當(dāng)時，

∴當(dāng)時，，

.

∴ . ………………………………… 14分

10、(廈門市第二外國語學(xué)校2008―2009學(xué)年高三數(shù)學(xué)第四次月考)某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？

（注：平均綜合費用＝平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用＝）